Математический анализ Примеры

$k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = t^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $t^{2} - 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.4

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.4.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Этап 1.6

Перенесем $2$ влево от ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Этап 1.7.1.2

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Этап 1.7.1.3

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Этап 1.7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Этап 1.7.2.2

Перенесем $3$ влево от $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Этап 1.7.2.3

Добавим $3 t^{2}$ и $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.3

Перепишем ${(t^{2} - 4)}^{2}$ в виде $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.4

Развернем $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.5.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.5.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.5.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.5.2

Вычтем $4 t^{2}$ из $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1.1

Перенесем $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.7.1.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.7.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.7.3

Умножим $16$ на $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.8.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.8.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.8.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 1.7.9

Развернем $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.2

Умножим $t^{5}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.2.3

Добавим $2$ и $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.6

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.6.1

Перенесем $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.7

Умножим $- 16$ на $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.8

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.10

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.10.1

Перенесем $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.10.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.10.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.11

Умножим $32$ на $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Этап 1.7.10.12

Умножим $- 4$ на $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Этап 1.7.11

Вычтем $64 t^{5}$ из $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Этап 1.7.12

Добавим $64 t^{3}$ и $128 t^{3}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 72 t^{5}] + \frac{d}{d t} [192 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

$k'' (t) = \frac{d}{d t} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [8 t^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8 t^{7}$ по $t$ равна $8 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$k'' (t) = 8 \frac{d}{d t} (t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$k'' (t) = 8 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.2.3

Умножим $7$ на $8$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 72 t^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $t$ , производная $- 72 t^{5}$ по $t$ равна $- 72 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 \frac{d}{d t} t^{5} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $- 72$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [192 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $192$ является константой относительно $t$ , производная $192 t^{3}$ по $t$ равна $192 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.4.3

Умножим $3$ на $192$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 128$ является константой относительно $t$ , производная $- 128 t$ по $t$ равна $- 128 \frac{d}{d t} [t]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \frac{d}{d t} t$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \cdot 1$

Этап 2.5.3

Умножим $- 128$ на $1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $t^{2} - 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.4

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перенесем $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.4.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Этап 4.1.6

Перенесем $2$ влево от ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Этап 4.1.7.1.2

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.1.3

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ из $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.1

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.2.2

Перенесем $3$ влево от $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.2.3

Добавим $3 t^{2}$ и $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.3

Перепишем ${(t^{2} - 4)}^{2}$ в виде $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.4

Развернем $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.5.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.5.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.5.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.5.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.5.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.5.2

Вычтем $4 t^{2}$ из $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.7.1

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.7.1.1

Перенесем $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.7.1.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.7.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.7.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.7.3

Умножим $16$ на $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.8.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.8.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.8.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.8.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.8.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.8.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Этап 4.1.7.9

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.2

Умножим $t^{5}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.10.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.2.3

Добавим $2$ и $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.6

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.10.6.1

Перенесем $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.7

Умножим $- 16$ на $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.8

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.10

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.10.10.1

Перенесем $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.10.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.10.10.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.11

Умножим $32$ на $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Этап 4.1.7.10.12

Умножим $- 4$ на $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Этап 4.1.7.11

Вычтем $64 t^{5}$ из $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Этап 4.1.7.12

Добавим $64 t^{3}$ и $128 t^{3}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Этап 4.2

Первая производная $k (t)$ по $t$ равна $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $8 t$ из $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $8 t$ из $8 t^{7}$ .

$8 t (t^{6}) - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $8 t$ из $- 72 t^{5}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $8 t$ из $192 t^{3}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) - 128 t = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $8 t$ из $- 128 t$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $8 t$ из $8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $8 t$ из $8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $8 t$ из $8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16)$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16) = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 t^{4}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) + 24 t^{2} - 16) = 0$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $24 t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 16) = 0$

Этап 5.2.2.3

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Этап 5.2.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 t^{4}) - (- 24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Этап 5.2.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Этап 5.2.3

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 {(t^{2})}^{2} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Этап 5.2.4

Пусть $u = t^{2}$ . Подставим $u$ вместо $t^{2}$ для всех.

$8 t (t^{6} - (9 u^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Этап 5.2.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перепишем $9 u^{2}$ в виде ${(3 u)}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Этап 5.2.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 4^{2})) = 0$

Этап 5.2.5.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$24 u = 2 \cdot (3 u) \cdot 4$

Этап 5.2.5.4

Перепишем многочлен.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 2 \cdot (3 u) \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 5.2.5.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 3 u$ и $b = 4$ .

$8 t (t^{6} - {(3 u - 4)}^{2}) = 0$

Этап 5.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Этап 5.2.7

Перепишем $t^{6}$ в виде ${(t^{3})}^{2}$ .

$8 t ({(t^{3})}^{2} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Этап 5.2.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t^{3}$ и $b = 3 t^{2} - 4$ .

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Этап 5.2.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.1

Избавимся от ненужных скобок.

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Этап 5.2.9.1.2

Перепишем $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.2.1

Разложим $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 5.2.9.1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 5.2.9.1.2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Этап 5.2.9.1.2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Этап 5.2.9.1.2.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Этап 5.2.9.1.2.1.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 - 4$

Этап 5.2.9.1.2.1.3.5

Добавим $1$ и $3$ .

$4 - 4$

Этап 5.2.9.1.2.1.3.6

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 5.2.9.1.2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $t - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} - 4}{t - 1}$

Этап 5.2.9.1.2.1.5

Разделим $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ на $t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			+	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t^{3} - t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 t^{2} - 4 t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							+	$4 t$	-	$4$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 t - 4$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$
										$0$

Этап 5.2.9.1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$t^{2} + 4 t + 4$

Этап 5.2.9.1.2.1.6

Запишем $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ в виде набора множителей.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Этап 5.2.9.1.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Этап 5.2.9.1.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Этап 5.2.9.1.2.2.3

Перепишем многочлен.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Этап 5.2.9.1.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = t$ и $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Этап 5.2.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2}) + 4)) = 0$

Этап 5.2.9.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Этап 5.2.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Этап 5.2.9.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.6.1

Перепишем $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.6.1.1

Разложим $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.6.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3.5

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- 4 + 4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.3.6

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $t + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 4}{t + 1}$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5

Разделим $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ на $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.1

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			+	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t^{3} + t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 t^{2} - 4 t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							+	$4 t$	+	$4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 t + 4$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$
										$0$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$t^{2} - 4 t + 4$

Этап 5.2.9.1.6.1.1.6

Запишем $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 4))) = 0$

Этап 5.2.9.1.6.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1.6.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 2^{2}))) = 0$

Этап 5.2.9.1.6.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Этап 5.2.9.1.6.1.2.3

Перепишем многочлен.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}))) = 0$

Этап 5.2.9.1.6.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = t$ и $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) {(t - 2)}^{2})) = 0$

Этап 5.2.9.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2}) = 0$

Этап 5.2.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$t - 1 = 0$

${(t + 2)}^{2} = 0$

$t + 1 = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 5.5

Приравняем $t - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $t - 1$ к $0$ .

$t - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$t = 1$

Этап 5.6

Приравняем ${(t + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем ${(t + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Этап 5.6.2

Решим ${(t + 2)}^{2} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Приравняем $t + 2$ к $0$ .

$t + 2 = 0$

Этап 5.6.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$t = - 2$

Этап 5.7

Приравняем $t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $t + 1$ к $0$ .

$t + 1 = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t = - 1$

Этап 5.8

Приравняем ${(t - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем ${(t - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.8.2

Решим ${(t - 2)}^{2} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Приравняем $t - 2$ к $0$ .

$t - 2 = 0$

Этап 5.8.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$t = 2$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$ верно.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$56 {(0)}^{6} - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$56 \cdot 0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Этап 9.1.2

Умножим $56$ на $0$ .

$0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 360 \cdot 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Этап 9.1.4

Умножим $- 360$ на $0$ .

$0 + 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 576 \cdot 0 - 128$

Этап 9.1.6

Умножим $576$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 - 128$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 - 128$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 128$

Этап 9.2.3

Вычтем $128$ из $0$ .

$- 128$

Этап 10

$t = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$k (0) = {(0)}^{2} {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$k (0) = 0 {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Этап 11.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$k (0) = 0 {(0 - 4)}^{3}$

Этап 11.2.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$k (0) = 0 {(- 4)}^{3}$

Этап 11.2.4

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$k (0) = 0 \cdot - 64$

Этап 11.2.5

Умножим $0$ на $- 64$ .

$k (0) = 0$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$56 {(1)}^{6} - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$56 \cdot 1 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Этап 13.1.2

Умножим $56$ на $1$ .

$56 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Этап 13.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$56 - 360 \cdot 1 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Этап 13.1.4

Умножим $- 360$ на $1$ .

$56 - 360 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Этап 13.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$56 - 360 + 576 \cdot 1 - 128$

Этап 13.1.6

Умножим $576$ на $1$ .

$56 - 360 + 576 - 128$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $360$ из $56$ .

$- 304 + 576 - 128$

Этап 13.2.2

Добавим $- 304$ и $576$ .

$272 - 128$

Этап 13.2.3

Вычтем $128$ из $272$ .

$144$

Этап 14

$t = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $t = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $1$ .

$k (1) = {(1)}^{2} {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$k (1) = 1 {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Этап 15.2.2

Умножим ${({(1)}^{2} - 4)}^{3}$ на $1$ .

$k (1) = {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Этап 15.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$k (1) = {(1 - 4)}^{3}$

Этап 15.2.4

Вычтем $4$ из $1$ .

$k (1) = {(- 3)}^{3}$

Этап 15.2.5

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$k (1) = - 27$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $- 27$ .

$y = - 27$

Этап 16

Найдем вторую производную в $t = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$56 {(- 2)}^{6} - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$56 \cdot 64 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Этап 17.1.2

Умножим $56$ на $64$ .

$3584 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Этап 17.1.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$3584 - 360 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Этап 17.1.4

Умножим $- 360$ на $16$ .

$3584 - 5760 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Этап 17.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$3584 - 5760 + 576 \cdot 4 - 128$

Этап 17.1.6

Умножим $576$ на $4$ .

$3584 - 5760 + 2304 - 128$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $5760$ из $3584$ .

$- 2176 + 2304 - 128$

Этап 17.2.2

Добавим $- 2176$ и $2304$ .

$128 - 128$

Этап 17.2.3

Вычтем $128$ из $128$ .

$0$

Этап 18

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $t$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 18.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 4$ .

$k' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $7$ .

$k' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2.1.2

Умножим $8$ на $- 16384$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $5$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 \cdot - 1024 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2.1.4

Умножим $- 72$ на $- 1024$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2.1.5

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 \cdot - 64 - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2.1.6

Умножим $192$ на $- 64$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 - 128 \cdot - 4$

Этап 18.2.2.1.7

Умножим $- 128$ на $- 4$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 + 512$

Этап 18.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.2.1

Добавим $- 131072$ и $73728$ .

$k' (- 4) = - 57344 - 12288 + 512$

Этап 18.2.2.2.2

Вычтем $12288$ из $- 57344$ .

$k' (- 4) = - 69632 + 512$

Этап 18.2.2.2.3

Добавим $- 69632$ и $512$ .

$k' (- 4) = - 69120$

Этап 18.2.2.3

Окончательный ответ: $- 69120$ .

$- 69120$

Этап 18.3

Подставим любое число такое, что $- 1.5$ , из интервала $(- 2, - 1)$ в первую производную $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = 8 {(- 1.5)}^{7} - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1.1

Возведем $- 1.5$ в степень $7$ .

$k' (- 1.5) = 8 \cdot - 17.0859375 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2.1.2

Умножим $8$ на $- 17.0859375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2.1.3

Возведем $- 1.5$ в степень $5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 \cdot - 7.59375 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2.1.4

Умножим $- 72$ на $- 7.59375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2.1.5

Возведем $- 1.5$ в степень $3$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 \cdot - 3.375 - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2.1.6

Умножим $192$ на $- 3.375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 - 128 \cdot - 1.5$

Этап 18.3.2.1.7

Умножим $- 128$ на $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 + 192$

Этап 18.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.2.1

Добавим $- 136.6875$ и $546.75$ .

$k' (- 1.5) = 410.0625 - 648 + 192$

Этап 18.3.2.2.2

Вычтем $648$ из $410.0625$ .

$k' (- 1.5) = - 237.9375 + 192$

Этап 18.3.2.2.3

Добавим $- 237.9375$ и $192$ .

$k' (- 1.5) = - 45.9375$

Этап 18.3.2.3

Окончательный ответ: $- 45.9375$ .

$- 45.9375$

Этап 18.4

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{7} - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1.1

Возведем $- 0.5$ в степень $7$ .

$k' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.0078125 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2.1.2

Умножим $8$ на $- 0.0078125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2.1.3

Возведем $- 0.5$ в степень $5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 \cdot - 0.03125 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2.1.4

Умножим $- 72$ на $- 0.03125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2.1.5

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 \cdot - 0.125 - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2.1.6

Умножим $192$ на $- 0.125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 - 128 \cdot - 0.5$

Этап 18.4.2.1.7

Умножим $- 128$ на $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 + 64$

Этап 18.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1

Добавим $- 0.0625$ и $2.25$ .

$k' (- 0.5) = 2.1875 - 24 + 64$

Этап 18.4.2.2.2

Вычтем $24$ из $2.1875$ .

$k' (- 0.5) = - 21.8125 + 64$

Этап 18.4.2.2.3

Добавим $- 21.8125$ и $64$ .

$k' (- 0.5) = 42.1875$

Этап 18.4.2.3

Окончательный ответ: $42.1875$ .

$42.1875$

Этап 18.5

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0.5$ .

$k' (0.5) = 8 {(0.5)}^{7} - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $7$ .

$k' (0.5) = 8 \cdot 0.0078125 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2.1.2

Умножим $8$ на $0.0078125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 \cdot 0.03125 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2.1.4

Умножим $- 72$ на $0.03125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2.1.5

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 \cdot 0.125 - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2.1.6

Умножим $192$ на $0.125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 128 \cdot 0.5$

Этап 18.5.2.1.7

Умножим $- 128$ на $0.5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 64$

Этап 18.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.2.1

Вычтем $2.25$ из $0.0625$ .

$k' (0.5) = - 2.1875 + 24 - 64$

Этап 18.5.2.2.2

Добавим $- 2.1875$ и $24$ .

$k' (0.5) = 21.8125 - 64$

Этап 18.5.2.2.3

Вычтем $64$ из $21.8125$ .

$k' (0.5) = - 42.1875$

Этап 18.5.2.3

Окончательный ответ: $- 42.1875$ .

$- 42.1875$

Этап 18.6

Подставим любое число такое, что $1.5$ , из интервала $(1, 2)$ в первую производную $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $1.5$ .

$k' (1.5) = 8 {(1.5)}^{7} - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.2.1.1

Возведем $1.5$ в степень $7$ .

$k' (1.5) = 8 \cdot 17.0859375 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2.1.2

Умножим $8$ на $17.0859375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2.1.3

Возведем $1.5$ в степень $5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 \cdot 7.59375 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2.1.4

Умножим $- 72$ на $7.59375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2.1.5

Возведем $1.5$ в степень $3$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 \cdot 3.375 - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2.1.6

Умножим $192$ на $3.375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 128 \cdot 1.5$

Этап 18.6.2.1.7

Умножим $- 128$ на $1.5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 192$

Этап 18.6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.2.2.1

Вычтем $546.75$ из $136.6875$ .

$k' (1.5) = - 410.0625 + 648 - 192$

Этап 18.6.2.2.2

Добавим $- 410.0625$ и $648$ .

$k' (1.5) = 237.9375 - 192$

Этап 18.6.2.2.3

Вычтем $192$ из $237.9375$ .

$k' (1.5) = 45.9375$

Этап 18.6.2.3

Окончательный ответ: $45.9375$ .

$45.9375$

Этап 18.7

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.7.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$k' (4) = 8 {(4)}^{7} - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.7.2.1.1

Возведем $4$ в степень $7$ .

$k' (4) = 8 \cdot 16384 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2.1.2

Умножим $8$ на $16384$ .

$k' (4) = 131072 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2.1.3

Возведем $4$ в степень $5$ .

$k' (4) = 131072 - 72 \cdot 1024 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2.1.4

Умножим $- 72$ на $1024$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 \cdot 64 - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2.1.6

Умножим $192$ на $64$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 128 \cdot 4$

Этап 18.7.2.1.7

Умножим $- 128$ на $4$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 512$

Этап 18.7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.7.2.2.1

Вычтем $73728$ из $131072$ .

$k' (4) = 57344 + 12288 - 512$

Этап 18.7.2.2.2

Добавим $57344$ и $12288$ .

$k' (4) = 69632 - 512$

Этап 18.7.2.2.3

Вычтем $512$ из $69632$ .

$k' (4) = 69120$

Этап 18.7.2.3

Окончательный ответ: $69120$ .

$69120$

Этап 18.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $t = - 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 18.9

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = - 1$ , $t = - 1$ — локальный минимум.

$t = - 1$ — локальный минимум

Этап 18.10

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = 0$ , $t = 0$ — локальный максимум.

$t = 0$ — локальный максимум

Этап 18.11

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = 1$ , $t = 1$ — локальный минимум.

$t = 1$ — локальный минимум

Этап 18.12

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $t = 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 18.13

Это локальные экстремумы $k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = - 1$ — локальный минимум

$t = 0$ — локальный максимум

$t = 1$ — локальный минимум

$t = - 1$ — локальный минимум

$t = 0$ — локальный максимум

$t = 1$ — локальный минимум

Этап 19