Математический анализ Примеры

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \arctan (y)$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Этап 1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Этап 1.2.3.2

Объединим $\frac{2}{1 + y^{4}}$ и $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.2

Умножим $y^{4} + 1$ на $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $y^{4} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $4 y^{3}$ и $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4

Умножим $y$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.2

Умножим $y^{3}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.5

Вычтем $4 y^{4}$ из $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Этап 2.6

Объединим $2$ и $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 y^{4} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.7

Перепишем $- (3 y^{4} - 1)$ в виде $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$2 y = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y = 0$

Этап 6

Найдем вторую производную в $y = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Этап 7.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Этап 7.3.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- - 2$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2$

Этап 8

$y = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$y = 0$ — локальный минимум

Этап 9

Найдем значение y, если $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Этап 9.2.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$h (0) = 0$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 10

Это локальные экстремумы $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Этап 11