Математический анализ Примеры

$p (t) = 561 + (36 t^{0.6} - 108)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $561 + 36 t^{0.6} - 108$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ .

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 1.1.2

Поскольку $561$ является константой относительно $t$ , производная $561$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $t$ , производная $36 t^{0.6}$ по $t$ равна $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 0.6$ .

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 1.2.3

Умножим $0.6$ на $36$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 1.3

Поскольку $- 108$ является константой относительно $t$ , производная $- 108$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $21.6$ и $\frac{1}{t^{0.4}}$ .

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $0$ и $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Этап 1.4.2.3

Добавим $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ и $0$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $21.6$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ по $t$ равна $21.6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{0.4}}]$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (\frac{1}{t^{0.4}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{t^{0.4}}$ в виде ${(t^{0.4})}^{- 1}$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} ({(t^{0.4})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{0.4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{0.4 \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $0.4$ на $- 1$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{- 0.4})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 0.4$ .

$p'' (t) = 21.6 (- 0.4 t^{- 1.4})$

Этап 2.4

Умножим $- 0.4$ на $21.6$ .

$p'' (t) = - 8.64 t^{- 1.4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$p'' (t) = - 8.64 \frac{1}{t^{1.4}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 8.64$ и $\frac{1}{t^{1.4}}$ .

$p'' (t) = \frac{- 8.64}{t^{1.4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p'' (t) = - \frac{8.64}{t^{1.4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $561 + 36 t^{0.6} - 108$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ .

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $561$ является константой относительно $t$ , производная $561$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $t$ , производная $36 t^{0.6}$ по $t$ равна $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 0.6$ .

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $0.6$ на $36$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

Этап 4.1.3

Поскольку $- 108$ является константой относительно $t$ , производная $- 108$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Объединим $21.6$ и $\frac{1}{t^{0.4}}$ .

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Этап 4.1.4.2.2

Добавим $0$ и $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Этап 4.1.4.2.3

Добавим $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ и $0$ .

$f' (t) = \frac{21.6}{t^{0.4}}$

Этап 4.2

Первая производная $p (t)$ по $t$ равна $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$21.6 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $21.6 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Переведем $0.4$ в дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим на $\frac{10}{10}$ ,чтобы избавиться от знаков после запятой.

$\frac{21.6}{t^{\frac{10 \cdot 0.4}{10}}}$

Этап 6.1.1.2

Умножим $10$ на $0.4$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{4}{10}}}$

Этап 6.1.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 (2)}{10}}}$

Этап 6.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

Этап 6.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

Этап 6.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2}{5}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[5]{t^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{t^{2}}}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{t^{2}}$ в виде $t^{\frac{2}{5}}$ .

${(t^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$t^{2} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$t^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \pm 0$

Этап 6.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$t = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{8.64}{{(0)}^{1.4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{8.64}{0}$

Этап 9.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11