Математический анализ Примеры

$x \sqrt[3]{x - 6}$

Этап 1

Запишем $x \sqrt[3]{x - 6}$ в виде функции.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 6}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8.3

Перенесем ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.11

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.12.2

Умножим $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Этап 2.14

Умножим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.15

Чтобы записать ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.16

Объединим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.18

Умножим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Перенесем ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.18.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.18.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.19

Упростим ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.20

Перенесем $3$ влево от $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.21.2.2

Добавим $x$ и $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.21.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.21.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.21.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 9$ и $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.7.2

Перенесем $2$ влево от ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.9.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2 {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.9.3

Перенесем ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.12

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13.2

Умножим $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.3

Умножим $- 2 x + 9$ на $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{(- 2 x + 9) \cdot 2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.4

Перенесем $2$ влево от $- 2 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{2 \cdot (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.5

Умножим $2 \frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.5.1

Объединим $2$ и $\frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (2 (- 2 x + 9))}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.6

Чтобы записать $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.7

Объединим $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9

Перепишем $\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.9.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.3

Умножим ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.9.3.1

Перенесем ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.3.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.4

Упростим $3 {(x - 6)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x + 3 \cdot - 6 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.6

Умножим $3$ на $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x - 18 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.7

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 18 + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.3.9.8

Добавим $- 18$ и $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.1

Перепишем $\frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.4.2

Умножим $\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 3.14.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14.4.4

Умножим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.4.1

Перенесем ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 ({(x - 6)}^{\frac{4}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 3.14.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 3.14.4.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Этап 3.14.4.4.4

Добавим $4$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 6}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.8.3

Перенесем ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.8.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.9

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.11

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.12.2

Умножим $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.14

Умножим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.1.15

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.16

Объединим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.18

Умножим ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.18.1

Перенесем ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.18.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.18.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.19

Упростим ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.20

Перенесем $3$ влево от $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.21.2.1

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.21.2.2

Добавим $x$ и $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.21.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.21.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.21.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.21.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (2 x - 9) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 (2 x - 9) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $2 (2 x - 9) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Разделим $2 x - 9$ на $1$ .

$2 x - 9 = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$2 x - 9 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 9$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $2 x = 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $2 x = 9$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x - 6)}^{2} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.1.2.1.2

Разделим ${(x - 6)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.2

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 7.3.3.3

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{9}{2}, 6$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{9}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 ((\frac{9}{2}) - 9)}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $9$ из $4 ((\frac{9}{2}) - 9)$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 ({((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}})}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1)}{{((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 \frac{1 - 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.4.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{4 (\frac{- 1}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (4 (\frac{1}{2}))}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.6.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{4}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.7

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.2

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 12}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.4.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{- 3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.6.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.4.7

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.4.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.4.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.4.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{5} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.4.10

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 10.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$

Этап 10.7

Умножим $- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.7.2

Объединим $2$ и $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.7.3

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.3.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.7.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3 + 5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.7.3.4

Добавим $3$ и $5$ .

$\frac{2^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 11

$x = \frac{9}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{9}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2}) \sqrt[3]{(\frac{9}{2}) - 6}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 12.2.2

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}}$

Этап 12.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 6 \cdot 2}{2}}$

Этап 12.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 12}{2}}$

Этап 12.2.4.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 3}{2}}$

Этап 12.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Этап 12.2.6

Перепишем $- \frac{3}{2}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.6.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Этап 12.2.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Этап 12.2.9

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}})$

Этап 12.2.10

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))$

Этап 12.2.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Этап 12.2.11.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Этап 12.2.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Этап 12.2.11.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Этап 12.2.11.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 12.2.11.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 12.2.11.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Этап 12.2.11.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Этап 12.2.11.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Этап 12.2.11.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Этап 12.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.12.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})$

Этап 12.2.12.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2})$

Этап 12.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2})$

Этап 12.2.13.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$

Этап 12.2.14

Умножим $\frac{9}{2} (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.14.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.14.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Этап 12.2.15

Окончательный ответ: $- \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 {((6) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 14.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0}$

Этап 14.3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Этап 14.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Этап 14.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{9}{2})$ в первую производную $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (2 (0) - 9)}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $2 (2 (0) - 9)$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 ({((0) - 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 15.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{2 (2 \cdot (0) - 3)}{{((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 3)}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.3.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

Вычтем $6$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (0) = \frac{- 6}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.5

Перенесем ${(- 6)}^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = - 6 {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 15.2.2.6

Умножим $- 6$ на ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.6.1

Умножим $- 6$ на ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $1$ .

$f' (0) = (- 6) {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 15.2.2.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (0) = {(- 6)}^{1 - \frac{2}{3}}$

Этап 15.2.2.6.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Этап 15.2.2.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3 - 2}{3}}$

Этап 15.2.2.6.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 15.2.2.7

Окончательный ответ: ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $5$ , из интервала $(\frac{9}{2}, 6)$ в первую производную $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (2 (5) - 9)}{3 {((5) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (10 - 9)}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.1.2

Вычтем $9$ из $10$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Вычтем $6$ из $5$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 15.3.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 15.3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Этап 15.3.2.2.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Этап 15.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 15.3.2.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3}$

Этап 15.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $8$ , из интервала $(6, \infty)$ в первую производную $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (2 (8) - 9)}{3 {((8) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (16 - 9)}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2

Вычтем $9$ из $16$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.1

Вычтем $6$ из $8$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$f' (8) = \frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{9}{2}$ , $x = \frac{9}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{9}{2}$ — локальный минимум

Этап 15.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 6$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 15.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$ .

$x = \frac{9}{2}$ — локальный минимум

Этап 16