Математический анализ Примеры

$x (4 + \frac{50}{x - 8})$

Этап 1

Запишем $x (4 + \frac{50}{x - 8})$ в виде функции.

$f (x) = x (4 + \frac{50}{x - 8})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{4 (x - 8)}{x - 8} + \frac{50}{x - 8})]$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x \frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}]$

Этап 2.2.2

Объединим $x$ и $\frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 (x - 8) + 50)}{x - 8}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x (4 (x - 8) + 50)$ и $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x (4 (x - 8) + 50)] - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 (x - 8) + 50$ .

$\frac{(x - 8) (x \frac{d}{d x} [4 (x - 8) + 50] + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $4 (x - 8) + 50$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$\frac{(x - 8) (x (\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (x - 8)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.3

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.6.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.7

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $50$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + 0) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (x \cdot 4 + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.8.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{(x - 8) (4 \cdot x + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + (4 (x - 8) + 50) \cdot 1) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.10

Умножим $4 (x - 8) + 50$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.11

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.13

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.14.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5.14.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x + 4 \cdot - 8 + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$\frac{(x - 8) (8 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.3

Добавим $- 32$ и $50$ .

$\frac{(x - 8) (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.4

Развернем $(x - 8) (8 x + 18)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (8 x + 18) - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x \cdot x + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x^{2} + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5.1.3

Перенесем $18$ влево от $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 \cdot x - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5.1.4

Умножим $8$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5.1.5

Умножим $- 8$ на $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5.2

Вычтем $64 x$ из $18 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x \cdot x - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.9

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x \cdot - 32 - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.10

Умножим $- 32$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.11

Умножим $50$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 46 x - 144 + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.3

Добавим $- 46 x$ и $32 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x - 144 - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.4.4

Вычтем $50 x$ из $- 14 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 64 x - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 64 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 16 x) - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 144$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x - 36)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.5.2

Разложим $x^{2} - 16 x - 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 36$ , а сумма — $- 16$ .

$- 18, 2$

Этап 2.6.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 ((x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{2}}$

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}})$

Этап 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{({(x - 8)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 8)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.4

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) \frac{d}{d x} (x + 2) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.4.2

Умножим $x - 18$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.5

По правилу суммы производная $x - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18))) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 18))) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.7

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (1 + 0)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) \cdot 1) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.8.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + x + 2) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 18 + 2) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.5.8.4

Добавим $- 18$ и $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 8$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 8$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (2 (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $x - 8$ из ${(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $x - 8$ из ${(x - 8)}^{2} (2 x - 16)$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.7.2.2

Вынесем множитель $x - 8$ из $- 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) + (x - 8) (- 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.7.2.3

Вынесем множитель $x - 8$ из $(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) + (x - 8) (- 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x - 8]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 3.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $x - 8$ из ${(x - 8)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{(x - 8) {(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{(x - 8) {(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.8.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.11

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) \cdot 1}{{(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.12.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{3}})$

Этап 3.12.3

Объединим $4$ и $\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16) + (- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.1

Развернем $(x - 8) (2 x - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x - 16) - 8 (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x \cdot x + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2.1.3

Перенесем $- 16$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 \cdot x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 x - 16 x - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2.1.5

Умножим $- 8$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 x - 16 x + 128) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.2.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 32 x + 128) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- 32 x) + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 4 (- 32 x) + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.4.2

Умножим $- 32$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.4.3

Умножим $4$ на $128$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 ((- 2 x + 36) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.6

Развернем $(- 2 x + 36) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x (x + 2) + 36 (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 36 (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.7.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 4 x + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.7.1.3

Умножим $36$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 4 x + 36 x + 72)}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.7.2

Добавим $- 4 x$ и $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} + 32 x + 72)}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (32 x) + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.9.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 4 (32 x) + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.9.2

Умножим $32$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.1.9.3

Умножим $4$ на $72$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.2

Объединим противоположные члены в $8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 288$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.2.1

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x + 512 + 0 + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.2.2

Добавим $- 128 x + 512$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x + 512 + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.2.3

Добавим $- 128 x$ и $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 512 + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.2.4

Добавим $0$ и $512$ .

$f'' (x) = \frac{512 + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 3.13.3.3

Добавим $512$ и $288$ .

$f'' (x) = \frac{800}{{(x - 8)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{4 (x - 8)}{x - 8} + \frac{50}{x - 8})]$

Этап 5.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x \frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}]$

Этап 5.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 (x - 8) + 50)}{x - 8}]$

Этап 5.1.3

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x (4 (x - 8) + 50)] - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.4

$\frac{(x - 8) (x \frac{d}{d x} [4 (x - 8) + 50] + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

По правилу суммы производная $4 (x - 8) + 50$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$\frac{(x - 8) (x (\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (x - 8)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.3

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.6.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.7

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $50$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + 0) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.8.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (x \cdot 4 + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.8.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{(x - 8) (4 \cdot x + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + (4 (x - 8) + 50) \cdot 1) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.10

Умножим $4 (x - 8) + 50$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.11

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.13

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.14.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.5.14.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x + 4 \cdot - 8 + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1.1

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$\frac{(x - 8) (8 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.3

Добавим $- 32$ и $50$ .

$\frac{(x - 8) (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.4

Развернем $(x - 8) (8 x + 18)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (8 x + 18) - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x \cdot x + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x^{2} + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5.1.3

Перенесем $18$ влево от $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 \cdot x - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5.1.4

Умножим $8$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5.1.5

Умножим $- 8$ на $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.5.2

Вычтем $64 x$ из $18 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x \cdot x - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.9

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x \cdot - 32 - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.10

Умножим $- 32$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.1.11

Умножим $50$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 46 x - 144 + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.3

Добавим $- 46 x$ и $32 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x - 144 - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.4.4

Вычтем $50 x$ из $- 14 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 64 x - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 64 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 16 x) - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 144$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x - 36)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.1.6.5.2

Разложим $x^{2} - 16 x - 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.5.2.1

$- 18, 2$

Этап 5.1.6.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{4 ((x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x - 18) (x + 2) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 18 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6.3.2

Приравняем $x - 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем $x - 18$ к $0$ .

$x - 18 = 0$

Этап 6.3.2.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Этап 6.3.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 18) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 18, - 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 7.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 18, - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 18$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{800}{{((18) - 8)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вычтем $8$ из $18$ .

$\frac{800}{10^{3}}$

Этап 10.1.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{800}{1000}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $800$ и $1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $200$ из $800$ .

$\frac{200 (4)}{1000}$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $200$ из $1000$ .

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot 5}$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot 5}$

Этап 10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{5}$

Этап 11

$x = 18$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 18$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $18$ .

$f (18) = (18) (4 + \frac{50}{(18) - 8})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель $50$ и $(18) - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{(18) - 8})$

Этап 12.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 9 - 8})$

Этап 12.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot 9 + 2 \cdot - 4})$

Этап 12.2.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9 + 2 \cdot - 4$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot (9 - 4)})$

Этап 12.2.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot (9 - 4)})$

Этап 12.2.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (18) = 18 (4 + \frac{25}{9 - 4})$

Этап 12.2.1.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{25}{5})$

Этап 12.2.1.3

Разделим $25$ на $5$ .

$f (18) = 18 (4 + 5)$

Этап 12.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Добавим $4$ и $5$ .

$f (18) = 18 \cdot 9$

Этап 12.2.2.2

Умножим $18$ на $9$ .

$f (18) = 162$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $162$ .

$y = 162$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{800}{{((- 2) - 8)}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вычтем $8$ из $- 2$ .

$\frac{800}{{(- 10)}^{3}}$

Этап 14.1.2

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$\frac{800}{- 1000}$

Этап 14.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $800$ и $- 1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Вынесем множитель $200$ из $800$ .

$\frac{200 (4)}{- 1000}$

Этап 14.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.2.1

Вынесем множитель $200$ из $- 1000$ .

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot - 5}$

Этап 14.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot - 5}$

Этап 14.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{- 5}$

Этап 14.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5}$

Этап 15

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = (- 2) (4 + \frac{50}{(- 2) - 8})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель $50$ и $(- 2) - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{(- 2) - 8})$

Этап 16.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot - 1 - 8})$

Этап 16.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 4})$

Этап 16.2.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 4$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot (- 1 - 4)})$

Этап 16.2.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot (- 1 - 4)})$

Этап 16.2.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{25}{- 1 - 4})$

Этап 16.2.1.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{25}{- 5})$

Этап 16.2.1.3

Разделим $25$ на $- 5$ .

$f (- 2) = - 2 (4 - 5)$

Этап 16.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $5$ из $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot - 1$

Этап 16.2.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 2) = 2$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x (4 + \frac{50}{x - 8})$ .

$(18, 162)$ — локальный минимум

$(- 2, 2)$ — локальный максимум

Этап 18