Математический анализ Примеры

$y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Этап 1

Запишем $y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ в виде функции.

$f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5.4$ является константой относительно $x$ , производная $5.4 \cos (\frac{π x}{6})$ по $x$ равна $5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$ .

$5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$5.4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $5.4$ .

$- 5.4 (\sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{6}$ по $x$ равна $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5.4 \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $\frac{π}{6}$ и $- 5.4$ .

$\frac{π \cdot - 5.4}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.2

Умножим $π$ на $- 5.4$ .

$\frac{- 16.96460032}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.3

Объединим $\frac{- 16.96460032}{6}$ и $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$\frac{- 16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $16.96460032$ из $16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Этап 2.4.3

Разделим дроби.

$- (\frac{16.96460032}{6} \cdot \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Этап 2.4.4

Разделим $16.96460032$ на $6$ .

$- (2.82743338 \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Этап 2.4.5

Разделим $\sin (\frac{π x}{6})$ на $1$ .

$- (2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}))$

Этап 2.4.6

Умножим $2.82743338$ на $- 1$ .

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2.82743338$ является константой относительно $x$ , производная $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$ по $x$ равна $- 2.82743338 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{6})$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{6}$ по $x$ равна $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \cos (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $\frac{π}{6}$ и $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2.82743338}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $π$ на $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.3.2.3

Объединим $\frac{- 8.88264396}{6}$ и $\cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $8.88264396$ из $8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Этап 3.4.3

Разделим дроби.

$f'' (x) = - (\frac{8.88264396}{6} \cdot \frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1})$

Этап 3.4.4

Разделим $8.88264396$ на $6$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 (\frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1}))$

Этап 3.4.5

Разделим $\cos (\frac{π x}{6})$ на $1$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 \cos (\frac{π x}{6}))$

Этап 3.4.6

Умножим $1.48044066$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 1.48044066 \cos (\frac{π x}{6})$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ на $- 2.82743338$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ на $- 2.82743338$ .

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 2.82743338$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{π x}{6})$ на $1$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = \frac{0}{- 2.82743338}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $- 2.82743338$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{π x}{6} = \arcsin (0)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{π x}{6} = 0$

Этап 8

Приравняем числитель к нулю.

$π x = 0$

Этап 9

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{π x}{6} = π - 0$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Этап 11.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Этап 11.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Этап 11.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Этап 11.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Этап 11.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6}{π} (π - 0)$

Этап 11.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим $\frac{6}{π} (π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = \frac{6}{π} π$

Этап 11.2.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6}{π} π$

Этап 11.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 6$

Этап 12

Решение уравнения $\frac{π x}{6} = 0$ .

$x = 0, 6$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (0)}{6})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $6$ из $π (0)$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Этап 14.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Этап 14.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Этап 14.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Этап 14.1.2.4

Разделим $π \cdot (0)$ на $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π \cdot (0))$

Этап 14.2

Умножим $π$ на $0$ .

$- 1.48044066 \cos (0)$

Этап 14.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1.48044066 \cdot 1$

Этап 14.4

Умножим $- 1.48044066$ на $1$ .

$- 1.48044066$

Этап 15

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (5.4) \cos (\frac{π (0)}{6})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $π (0)$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Этап 16.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Этап 16.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Этап 16.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Этап 16.2.1.2.4

Разделим $π \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = 5.4 \cos (π \cdot (0))$

Этап 16.2.2

Умножим $π$ на $0$ .

$f (0) = 5.4 \cos (0)$

Этап 16.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 5.4 \cdot 1$

Этап 16.2.4

Умножим $5.4$ на $1$ .

$f (0) = 5.4$

Этап 16.2.5

Окончательный ответ: $5.4$ .

$y = 5.4$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (6)}{6})$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Сократим общий множитель.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Этап 18.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π)$

Этап 18.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 1.48044066 (- \cos (0))$

Этап 18.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.4

Умножим $- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1.48044066 \cdot - 1$

Этап 18.4.2

Умножим $- 1.48044066$ на $- 1$ .

$1.48044066$

Этап 19

$x = 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = (5.4) \cos (\frac{π (6)}{6})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (6) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Этап 20.2.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (6) = 5.4 \cos (π)$

Этап 20.2.2

$f (6) = 5.4 (- \cos (0))$

Этап 20.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (6) = 5.4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 20.2.4

Умножим $5.4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (6) = 5.4 \cdot - 1$

Этап 20.2.4.2

Умножим $5.4$ на $- 1$ .

$f (6) = - 5.4$

Этап 20.2.5

Окончательный ответ: $- 5.4$ .

$y = - 5.4$

Этап 21

Это локальные экстремумы $f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ .

$(0, 5.4)$ — локальный максимум

$(6, - 5.4)$ — локальный минимум

Этап 22