Математический анализ Примеры

$y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 1

Запишем $y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$ в виде функции.

$f (x) = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{4}{x} + x$ и $g (x) = \frac{4}{x} - x$ .

$(\frac{4}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} - x] + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{4}{x} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Этап 2.2.9

По правилу суммы производная $\frac{4}{x} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.11

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.13

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Этап 2.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Этап 2.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{- 4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Этап 2.3.3.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{- 4}{x^{2}} + 1)$

Этап 2.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- \frac{4}{x^{2}} + 1)$

Этап 2.3.4

Изменим порядок членов.

$(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Развернем $(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} + x) - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1.1

Умножим $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1.1.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1.1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x^{2}}$ в числитель.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.4

Перепишем $- 1 \frac{4}{x}$ в виде $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.1.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.2.2

Вычтем $\frac{4}{x}$ из $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - 2 \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Умножим $- 2 \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.3.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.4

Развернем $(- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} - x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Этап 2.3.5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.5.1.1

Умножим $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.5.1.1.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.5.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.5.1.1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.5.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x^{2}}$ в числитель.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.2.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.2.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.3

Объединим $\frac{- 4}{x}$ и $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.5

Умножим $\frac{4}{x}$ на $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Этап 2.3.5.5.1.6

Умножим $- x$ на $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} - x$

Этап 2.3.5.5.2

Добавим $\frac{4}{x}$ и $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + 2 \frac{4}{x} - x$

Этап 2.3.5.6

Умножим $2 \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.6.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 4}{x} - x$

Этап 2.3.5.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$

Этап 2.3.6

Объединим противоположные члены в $- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $- \frac{8}{x}$ и $\frac{8}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} + 0 - x$

Этап 2.3.6.2

Добавим $- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}}$ и $0$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} - x$

Этап 2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x - x + \frac{- 16 - 16}{x^{3}}$

Этап 2.3.8

Вычтем $16$ из $- 16$ .

$- x - x + \frac{- 32}{x^{3}}$

Этап 2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x - x - \frac{32}{x^{3}}$

Этап 2.3.10

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Этап 3.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{32}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 3.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 3.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 3.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 3$ на $- 32$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 x^{- 4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 3.4.2

Объединим $96$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{96}{x^{4}}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{96}{x^{4}} - 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}} = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7