Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 3.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 3.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Этап 3.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 5.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x - \frac{1}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 6.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 6.3

Каждый член в $x - \frac{1}{x} = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $x - \frac{1}{x} = 0$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 6.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 6.4.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 6.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 6.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 6.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1} + 1$

Этап 10.1.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + 1$

Этап 10.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$

Этап 11

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Этап 12.2.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Этап 12.2.2

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ — локальный минимум

Этап 14