Математический анализ Примеры

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Этап 1

Запишем $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 e^{- x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{- x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.2.2

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.2.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.3

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $- 3 e^{- x} + e^{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.2

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 e^{- x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.2.2

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.3.8

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Этап 5.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Этап 6.2

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

Этап 6.3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

Этап 6.4.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

Этап 6.5

Изменим порядок $\frac{3}{u}$ и $u$ .

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

Этап 6.6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1, 1$

Этап 6.6.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 6.6.2

Каждый член в $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Этап 6.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Этап 6.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Этап 6.6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

Этап 6.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

Этап 6.6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Разложим $u^{2} + 3 - 4 u$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 6.6.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Этап 6.6.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 6.6.3.3

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.3.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 6.6.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 6.6.3.4

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.4.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.6.3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 6.6.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 3) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 3, 1$

Этап 6.7

Подставим $3$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Этап 6.8

Решим $3 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Этап 6.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 6.8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 6.8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 6.8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 6.9

Подставим $1$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Этап 6.10

Решим $1 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Этап 6.10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Этап 6.10.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 6.10.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 6.10.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1)$

Этап 6.10.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x = 0$

Этап 6.11

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (3), 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \ln (3), 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \ln (3)$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

Этап 10.1.2

Упростим $- (\ln (3))$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

Этап 10.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

Этап 10.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

Этап 10.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

Этап 10.1.5.2

Сократим общий множитель.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Этап 10.1.5.3

Перепишем это выражение.

$3 - 1$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$2$

Этап 11

$x = \ln (3)$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \ln (3)$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (3)$ .

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.2

Упростим $- (\ln (3))$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

Этап 12.2.1.6

Упростим $- 4 \ln (3)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

Этап 12.2.1.7

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

Этап 12.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

Этап 14.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

Этап 14.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

Этап 14.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3$

Этап 14.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2$

Этап 15

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Этап 16.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

Этап 16.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

Этап 16.2.1.5

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

Этап 16.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

Этап 16.2.2.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$f (0) = - 2$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ — локальный минимум

$(0, - 2)$ — локальный максимум

Этап 18