Математический анализ Примеры

$y = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Этап 1

Запишем $y = e^{3 x} - 6 e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{3 x} - 6 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 e^{x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.2.2

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 e^{x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

Этап 3.3.2

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $e^{3 x} - 6 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2.1.2

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.2.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 e^{x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 5.1.3.2

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Этап 6.2

Перенесем $- 6 e^{x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$3 e^{3 x} = 6 e^{x}$

Этап 6.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Этап 6.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $\ln (3 e^{3 x})$ в виде $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Этап 6.4.2

Развернем $\ln (e^{3 x})$ , вынося $3 x$ из логарифма.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (6 e^{x})$

Этап 6.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (6 e^{x})$

Этап 6.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6 e^{x})$

Этап 6.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $\ln (6 e^{x})$ в виде $\ln (6) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + \ln (e^{x})$

Этап 6.5.2

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \ln (e)$

Этап 6.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \cdot 1$

Этап 6.5.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x$

Этап 6.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (3) - \ln (6) = - 3 x + x$

Этап 6.7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{6}) = - 3 x + x$

Этап 6.8

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\ln (\frac{3 (1)}{6}) = - 3 x + x$

Этап 6.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Этап 6.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Этап 6.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{1}{2}) = - 3 x + x$

Этап 6.9

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$\ln (\frac{1}{2}) = - 2 x$

Этап 6.10

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6.11

Разделим каждый член $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Разделим каждый член $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Этап 6.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Этап 6.11.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Этап 6.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$9 e^{3 (- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.4

Единица в любой степени равна единице.

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.5

Умножим $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.5.2

Упростим $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$9 e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.6

Упростим $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$9 e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$9 {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.8

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.9

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.10

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Этап 10.11

Перепишем $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}))}$

Этап 10.12

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 10.13

Упростим $- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})}$

Этап 10.14

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Этап 10.15

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.15.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Этап 10.15.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 10.15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 10.16

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$y = - (\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{2}))$

Этап 12.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 12.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Этап 12.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$y = - \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$

Этап 12.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Умножим $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.1.2

Упростим $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.2

Упростим $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.5

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.6

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Этап 12.3.1.7

Упростим $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1})}$

Этап 12.3.1.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1}$

Этап 12.3.1.9

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.3.2

Окончательный ответ: $2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}, 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$ — локальный минимум

Этап 14