Математический анализ Примеры

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 2.8.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 2.10

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 2.12

Объединим $- 7$ и $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{7}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{7}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Этап 3.10.2

Умножим $\frac{7}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Этап 3.11

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{7 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $3$ на $7$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Этап 3.12.3

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7