Математический анализ Примеры

$y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ в виде ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x - 63$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 2.3.6

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 63$ является константой относительно $x$ , производная $- 63$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Этап 2.3.8

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ .

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.7

Умножим $- 2 x + 8$ на $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.8.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.10

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.12

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 2.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.3.5.2

Умножим ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 (x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x^{2} - 8 x - 63$ из ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 8 x - 63$ из ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 8 x - 63$ из $- 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - 8 x - 63$ из $(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63]))$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x^{2} - 8 x - 63$ из ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x - 63$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.11

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.12

Поскольку $- 63$ является константой относительно $x$ , производная $- 63$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.13.2

Объединим $- 10$ и $\frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 + (- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} + 10 (- 8 x) + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.1

Умножим $- 8$ на $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.2

Умножим $10$ на $- 63$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x + 8) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.4

Развернем $(- 2 x + 8) (2 x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x - 8) + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.1.4

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.1.5

Умножим $2$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.1.6

Умножим $8$ на $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.5.2

Добавим $16 x$ и $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 32 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2}) + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.7.1

Умножим $- 4$ на $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.7.2

Умножим $32$ на $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.7.3

Умножим $10$ на $- 64$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.2

Вычтем $40 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} - 80 x - 630 + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.3

Добавим $- 80 x$ и $320 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 630 - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.3.4

Вычтем $640$ из $- 630$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.4

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{2} + 240 x - 1270$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.1

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.4.2

Вынесем множитель $10$ из $240 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.4.3

Вынесем множитель $10$ из $- 1270$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.4.4

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.4.5

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.6

Вынесем множитель $- 1$ из $24 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - (- 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 24 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.8

Перепишем $- 127$ в виде $- 1 (127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 1 \cdot 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 24 x) - 1 (127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.10

Перепишем $- (3 x^{2} - 24 x + 127)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 3.14.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}})$

Этап 3.14.13

Умножим $\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ в виде ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Этап 5.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x - 63$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 5.1.3.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 5.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 5.1.3.6

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Этап 5.1.3.7

Поскольку $- 63$ является константой относительно $x$ , производная $- 63$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Этап 5.1.3.8

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Этап 5.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Этап 5.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Этап 5.1.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ .

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.6

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.7

Умножим $- 2 x + 8$ на $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.8.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.10

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.12

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.1.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$10 (x - 4) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $10 (x - 4) = 0$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $10 (x - 4) = 0$ на $10$ .

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{10}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Разделим $0$ на $10$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm 0$

Этап 7.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = 0$

Этап 7.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = - 63$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.1.3

Добавим $64$ и $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.1.4

Перепишем $316$ в виде $2^{2} \cdot 79$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Этап 7.2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Этап 7.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.1.3

Добавим $64$ и $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.1.4

Перепишем $316$ в виде $2^{2} \cdot 79$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Этап 7.2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Этап 7.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 4 + \sqrt{79}$

Этап 7.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.1.3

Добавим $64$ и $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.1.4

Перепишем $316$ в виде $2^{2} \cdot 79$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Этап 7.2.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Этап 7.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 4 - \sqrt{79}$

Этап 7.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + \sqrt{79}, 4 - \sqrt{79}$

Этап 7.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 4 - \sqrt{79}, x = 4 + \sqrt{79}$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10 (3 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 127)}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{10 (3 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{10 (48 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 24$ на $4$ .

$\frac{10 (48 - 96 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10.1.4

Вычтем $96$ из $48$ .

$\frac{10 (- 48 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10.1.5

Добавим $- 48$ и $127$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 32 - 63)}^{3}}$

Этап 10.2.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 16 - 63)}^{3}}$

Этап 10.2.4

Вычтем $63$ из $- 16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 79)}^{3}}$

Этап 10.2.5

Возведем $- 79$ в степень $3$ .

$\frac{10 \cdot 79}{- 493039}$

Этап 10.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $10$ на $79$ .

$\frac{790}{- 493039}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $790$ и $- 493039$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $79$ из $790$ .

$\frac{79 (10)}{- 493039}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $79$ из $- 493039$ .

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{- 6241}$

Этап 10.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{6241}$

Этап 11

$x = 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{5}{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 8 \cdot 4 - 63}$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 32 - 63}$

Этап 12.2.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 16 - 63}$

Этап 12.2.1.4

Вычтем $63$ из $- 16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 79}$

Этап 12.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (4) = - \frac{5}{79}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{5}{79}$ .

$y = - \frac{5}{79}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ .

$(4, - \frac{5}{79})$ — локальный максимум

Этап 14