Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

Этап 1

Запишем $y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ в виде функции.

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{3}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} (\cos (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\cos (x + \frac{π}{3})$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\cos (x + \frac{π}{3}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

Этап 2.3.2

Перенесем $3$ влево от $\cos (x + \frac{π}{3})$ .

$\frac{3 \cdot \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + 0)$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

Этап 2.3.6.2

Умножим $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ на $1$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{3}))$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sin (x + \frac{π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3})$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

Этап 3.3.4

Поскольку $\frac{π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + 0)$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

Этап 3.3.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} = 0$

Этап 5

Приравняем числитель к нулю.

$3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.1.2.1.2

Разделим $\cos (x + \frac{π}{3})$ на $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{3}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$\cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

Этап 6.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 6.4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.4.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.4.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.4.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 6.4.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Этап 6.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Этап 6.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Этап 6.4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Этап 6.4.6.3

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.6.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 6.6.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.6.2.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.6.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.4.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.6.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.6.2.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 6.6.2.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Этап 6.6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Этап 6.6.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Этап 6.6.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Этап 6.6.2.6.3

Вычтем $2 π$ из $9 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 6.7

Решение уравнения $x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Этап 7

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

Этап 8.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

Этап 8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})}{2}$

Этап 8.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

Этап 8.1.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{6})}{2}$

Этап 8.1.5

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (π)}{6})}{2}$

Этап 8.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

Этап 8.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

Этап 8.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{2}$

Этап 8.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{2}$

Этап 8.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 9

$x = \frac{π}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 10.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Этап 10.2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Этап 10.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

Этап 10.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

Этап 10.2.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{6})$

Этап 10.2.5

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Этап 10.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 10.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 10.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 10.2.7

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Этап 10.2.8

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{7 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

Этап 12.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

Этап 12.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

Этап 12.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})}{2}$

Этап 12.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

Этап 12.1.4.2

Добавим $7 π$ и $2 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{9 π}{6})}{2}$

Этап 12.1.5

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2}$

Этап 12.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2}$

Этап 12.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2}$

Этап 12.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 12.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Этап 12.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Этап 12.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Этап 12.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Этап 12.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3}{2}$

Этап 12.3

Умножим $- - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Этап 12.3.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 13

$x = \frac{7 π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 14.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Этап 14.2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Этап 14.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

Этап 14.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

Этап 14.2.4.2

Добавим $7 π$ и $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{9 π}{6})$

Этап 14.2.5

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Этап 14.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Этап 14.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Этап 14.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.2.6

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 14.2.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot - 1$

Этап 14.2.9

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.9.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Этап 14.2.9.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 14.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Этап 14.2.11

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Этап 15

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ — локальный минимум

Этап 16