Математический анализ Примеры

$y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Этап 1

Запишем $y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{3}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Этап 2.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Этап 2.3.2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Этап 2.3.2.3

Объединим $\sin (\frac{3 x}{2})$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Этап 2.3.2.4

Перенесем $3$ влево от $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{3 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ на $1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{9}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ по $x$ равна $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{3 x}{2}))$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\cos (\frac{3 x}{2})$ и $\frac{9}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Этап 3.3.2

Перенесем $9$ влево от $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Этап 3.3.3

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.3.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Умножим $9$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.3.4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot 1$

Этап 3.3.6

Умножим $\frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} = 0$

Этап 5

Приравняем числитель к нулю.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ на $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 6.1.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{3 x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Этап 6.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Этап 6.4

Приравняем числитель к нулю.

$3 x = 0$

Этап 6.5

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 6.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Этап 6.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 6.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 6.7.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 6.7.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 6.7.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 6.7.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 6.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Этап 6.7.2.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.8

Решение уравнения $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{8}$

Этап 8

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (0)$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{8}$

Этап 8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{8}$

Этап 8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{8}$

Этап 8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{8}$

Этап 8.1.2.4

Разделим $3 \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{8}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{27 \cos (0)}{8}$

Этап 8.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{27 \cdot 1}{8}$

Этап 8.3

Умножим $27$ на $1$ .

$\frac{27}{8}$

Этап 9

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (0)$

Этап 10.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 10.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{8}$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $3$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{8}$

Этап 12.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Этап 12.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{8}$

Этап 12.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{8}$

Этап 12.3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{8}$

Этап 12.3.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Этап 12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Этап 12.4.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{27 \cos (π)}{8}$

Этап 12.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{27 (- \cos (0))}{8}$

Этап 12.4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{27 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Этап 12.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{27 \cdot - 1}{8}$

Этап 12.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{- 27}{8}$

Этап 12.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27}{8}$

Этап 13

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Этап 14.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Этап 14.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Этап 14.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Этап 14.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (π)$

Этап 14.2.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- \cos (0))$

Этап 14.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Этап 14.2.6

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 (\frac{3}{2})$

Этап 14.2.6.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}$

Этап 14.2.7

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 15

Это локальные экстремумы $f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, - \frac{3}{2})$ — локальный минимум

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3}{2})$ — локальный максимум

Этап 16