Математический анализ Примеры

$y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $1 + 0.25 x^{2}$ на $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $1 + 0.25 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6

Поскольку $0.25$ является константой относительно $x$ , производная $0.25 x^{2}$ по $x$ равна $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.7

Умножим $0.25$ на $- 1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.9

Умножим $2$ на $- 0.25$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Вычтем $0.5 x^{2}$ из $0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Объединим $11$ и $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Умножим $11$ на $1$ .

$\frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10.2.2

Умножим $- 0.25$ на $11$ .

$\frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $2.75$ из $- 2.75 x^{2} + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.1

Вынесем множитель $2.75$ из $- 2.75 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.4.1.2

Вынесем множитель $2.75$ из $11$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.4.1.3

Вынесем множитель $2.75$ из $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.4.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Вынесем множитель $0.25$ из $0.25 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1.1

Вынесем множитель $0.25$ из $0.25 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.5.1.2

Вынесем множитель $0.25$ из $1$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 2.10.5.1.3

Вынесем множитель $0.25$ из $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Этап 2.10.5.2

Применим правило умножения к $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10.5.3

Возведем $0.25$ в степень $2$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10.6

Вынесем множитель $2.75$ из $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10.7

Вынесем множитель $0.0625$ из $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Этап 2.10.8

Разделим дроби.

$\frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10.9

Разделим $2.75$ на $0.0625$ .

$44 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10.10

Объединим $44$ и $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $44$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ по $x$ равна $44 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 44 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 3.2

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 + x$ и $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $2 + x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.6.3

Перепишем $- 1 (2 + x)$ в виде $- (2 + x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.7

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.5.11

Умножим $2 - x$ на $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.7.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.7.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Этап 3.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.8.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.12.3

Объединим $44$ и $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.2

Объединим противоположные члены в $- 2 - x + 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.2.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{44 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.7.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3}) + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.9

Умножим $- 2$ на $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.10

Умножим $- 8$ на $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.11

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.12

Развернем $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.13.1.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.1.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.1.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.13.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.1.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.2

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.13.3

Добавим $- 16$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.15

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.15.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.15.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1.15.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.15.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x) + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.17

Умножим $- 16$ на $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.1.18

Умножим $4$ на $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 176 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.2

Добавим $- 88 x^{3}$ и $176 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 352 x - 704 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.4.3

Вычтем $704 x$ из $- 352 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.5

Вынесем множитель $88 x$ из $88 x^{3} - 1056 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.5.1

Вынесем множитель $88 x$ из $88 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.5.2

Вынесем множитель $88 x$ из $- 1056 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3.13.5.3

Вынесем множитель $88 x$ из $88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}})$

Этап 5.1.2

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.2

Умножим $1 + 0.25 x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.3

По правилу суммы производная $1 + 0.25 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.6

Поскольку $0.25$ является константой относительно $x$ , производная $0.25 x^{2}$ по $x$ равна $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.7

Умножим $0.25$ на $- 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.3.9

Умножим $2$ на $- 0.25$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.8

Вычтем $0.5 x^{2}$ из $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Этап 5.1.9

Объединим $11$ и $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.1

Умножим $11$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.10.2.2

Умножим $- 0.25$ на $11$ .

$f' (x) = \frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.10.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.4.1

Вынесем множитель $2.75$ из $- 2.75 x^{2} + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.4.1.1

Вынесем множитель $2.75$ из $- 2.75 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.4.1.2

Вынесем множитель $2.75$ из $11$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.4.1.3

Вынесем множитель $2.75$ из $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.4.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.4.4

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.5.1

Вынесем множитель $0.25$ из $0.25 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.5.1.1

Вынесем множитель $0.25$ из $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.10.5.1.2

Вынесем множитель $0.25$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 5.1.10.5.1.3

Вынесем множитель $0.25$ из $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Этап 5.1.10.5.2

Применим правило умножения к $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.1.10.5.3

Возведем $0.25$ в степень $2$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.1.10.6

Вынесем множитель $2.75$ из $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.1.10.7

Вынесем множитель $0.0625$ из $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Этап 5.1.10.8

Разделим дроби.

$f' (x) = \frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.1.10.9

Разделим $2.75$ на $0.0625$ .

$f' (x) = 44 (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 5.1.10.10

Объединим $44$ и $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$44 (2 + x) (2 - x) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 6.3.2

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.3.3

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 6.3.3.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 6.3.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 6.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $44 (2 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{88 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $88$ на $- 2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Этап 10.2.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 176 (4 - 12)}{512}$

Этап 10.3.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$\frac{- 176 \cdot - 8}{512}$

Этап 10.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $- 176$ на $- 8$ .

$\frac{1408}{512}$

Этап 10.4.2

Сократим общий множитель $1408$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $128$ из $1408$ .

$\frac{128 (11)}{512}$

Этап 10.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $512$ .

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

Этап 10.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

Этап 10.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{4}$

Этап 11

$x = - 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{11 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $11$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Этап 12.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Этап 12.2.2.2

Умножим $0.25$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 1}$

Этап 12.2.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{2}$

Этап 12.2.3

Разделим $- 22$ на $2$ .

$f (- 2) = - 11$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $- 11$ .

$y = - 11$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{88 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $88$ на $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Этап 14.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Этап 14.2.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{512}$

Этап 14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{176 (4 - 12)}{512}$

Этап 14.3.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$\frac{176 \cdot - 8}{512}$

Этап 14.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $176$ на $- 8$ .

$\frac{- 1408}{512}$

Этап 14.4.2

Сократим общий множитель $- 1408$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Вынесем множитель $128$ из $- 1408$ .

$\frac{128 (- 11)}{512}$

Этап 14.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $512$ .

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

Этап 14.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

Этап 14.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 11}{4}$

Этап 14.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{4}$

Этап 15

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{11 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $11$ на $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

Этап 16.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Этап 16.2.2.2

Умножим $0.25$ на $4$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 1}$

Этап 16.2.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (2) = \frac{22}{2}$

Этап 16.2.3

Разделим $22$ на $2$ .

$f (2) = 11$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $11$ .

$y = 11$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 11)$ — локальный минимум

$(2, 11)$ — локальный максимум

Этап 18