Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{5} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.2.5.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{8}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8}{3} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{8}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{8}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.5

Умножим $- 3$ на $8$ .

$x^{4} + \frac{- 24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{- 24}{3}$ и $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.7

Сократим общий множитель $- 24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.3.7.2.4

Разделим $- 8 x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.4.3

Умножим $16$ на $1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} [- 120]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 120$ является константой относительно $x$ , производная $- 120$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ и $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $4 x^{3} - 16 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.2.4

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.2.5.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

$f' (x) = x^{4} - \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = x^{4} - \frac{8}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = x^{4} - 3 (\frac{8}{3}) \cdot x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{8}{3}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.5

Умножим $- 3$ на $8$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.6

Объединим $\frac{- 24}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.7

Сократим общий множитель $- 24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x^{2}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.3.7.2.4

Разделим $- 8 x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.4.3

Умножим $16$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 120)$

Этап 5.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Поскольку $- 120$ является константой относительно $x$ , производная $- 120$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 0$

Этап 5.1.5.2

Добавим $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ и $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Этап 6.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 6.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Этап 6.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 6.3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Этап 6.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Этап 6.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 6.5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 6.6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 4$

Этап 6.7

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 6.7.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 6.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 6.7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 6.7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(2)}^{3} - 16 \cdot 2$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 \cdot 8 - 16 \cdot 2$

Этап 10.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - 16 \cdot 2$

Этап 10.1.3

Умножим $- 16$ на $2$ .

$32 - 32$

Этап 10.2

Вычтем $32$ из $32$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{2} + 16$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 16$

Этап 11.2.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = 256 - 8 \cdot 16 + 16$

Этап 11.2.2.1.3

Умножим $- 8$ на $16$ .

$f' (- 4) = 256 - 128 + 16$

Этап 11.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вычтем $128$ из $256$ .

$f' (- 4) = 128 + 16$

Этап 11.2.2.2.2

Добавим $128$ и $16$ .

$f' (- 4) = 144$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $144$ .

$144$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 2, 2)$ в первую производную $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 8 {(0)}^{2} + 16$

Этап 11.3.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16$

Этап 11.3.2.1.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 16$

Этап 11.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 16$

Этап 11.3.2.2.2

Добавим $0$ и $16$ .

$f' (0) = 16$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = {(4)}^{4} - 8 {(4)}^{2} + 16$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 256 - 8 {(4)}^{2} + 16$

Этап 11.4.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 256 - 8 \cdot 16 + 16$

Этап 11.4.2.1.3

Умножим $- 8$ на $16$ .

$f' (4) = 256 - 128 + 16$

Этап 11.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Вычтем $128$ из $256$ .

$f' (4) = 128 + 16$

Этап 11.4.2.2.2

Добавим $128$ и $16$ .

$f' (4) = 144$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $144$ .

$144$

Этап 11.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = - 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 11.6

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 12