Математический анализ Примеры

$y = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $y = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = 2 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 8$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.6.3

Перенесем ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 2.11

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + 0)$

Этап 2.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Этап 2.12.2

Объединим $\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.12.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Этап 3.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 3.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}})$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.7.2

Объединим ${(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{{(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.7.3

Перенесем ${(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Этап 3.7.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{1}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3 (3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 3.7.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 3.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 3.11

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 3.12

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 + 0)$

Этап 3.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

Этап 3.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{8}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 8$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.1.2

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.6.3

Перенесем ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Этап 5.1.7

По правилу суммы производная $2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 5.1.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 5.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 5.1.10

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Этап 5.1.11

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 + 0)$

Этап 5.1.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Этап 5.1.12.2

Объединим $\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.12.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 6.3

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(2 x - 8)}^{1}}}$

Этап 7.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{2 x - 8} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{2 x - 8})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 x - 8}$ в виде ${(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(2 x - 8)}^{1} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 (2 x - 8) = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$27 (2 x) + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.6.1

Умножим $2$ на $27$ .

$54 x + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.6.2

Умножим $27$ на $- 8$ .

$54 x - 216 = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$54 x - 216 = 0$

Этап 7.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Добавим $216$ к обеим частям уравнения.

$54 x = 216$

Этап 7.3.3.2

Разделим каждый член $54 x = 216$ на $54$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Разделим каждый член $54 x = 216$ на $54$ .

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Этап 7.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Этап 7.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{216}{54}$

Этап 7.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.3.1

Разделим $216$ на $54$ .

$x = 4$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{8}{9 {(2 (4) - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{8}{9 {(8 - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{8}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 10.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{4}}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{8}{9 \cdot 0}$

Этап 10.3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Этап 10.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{8}{0}$

Этап 10.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 4)$ в первую производную $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(2 (0) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(0 - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.2.2.1.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.2.2.1.3

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.2.2.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 11.2.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 11.2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{4}{3 (- 2)}$

Этап 11.2.2.1.6

Найдем экспоненту.

$f' (0) = \frac{4}{3 \cdot - 2}$

Этап 11.2.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f' (0) = \frac{4}{- 6}$

Этап 11.2.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f' (0) = \frac{2 (2)}{- 6}$

Этап 11.2.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Этап 11.2.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Этап 11.2.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Этап 11.2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(4, \infty)$ в первую производную $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{4}{3 {(2 (6) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{4}{3 {(12 - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.3.2.1.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$f' (6) = \frac{4}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.3.2.2

Перенесем $4^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 11.3.2.3

Умножим $4$ на $4^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.3.1

Умножим $4$ на $4^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 11.3.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (6) = \frac{4^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 11.3.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (6) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 11.3.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (6) = \frac{4^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Этап 11.3.2.3.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$f' (6) = \frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 4$ , $x = 4$ — локальный минимум.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 12