Математический анализ Примеры

$y = {(11 - 2 x)}^{2} x$

Этап 1

Запишем $y = {(11 - 2 x)}^{2} x$ в виде функции.

$f (x) = {(11 - 2 x)}^{2} x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(11 - 2 x)}^{2}$ в виде $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - 2 x) (11 - 2 x) x]$

Этап 2.2

Развернем $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 (11 - 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $11$ на $11$ .

$\frac{d}{d x} [(121 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 2$ на $11$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $11$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x]$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x + 4 x^{2}) x]$

Этап 2.3.2

Вычтем $22 x$ из $- 22 x$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 44 x + 4 x^{2}) x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 121 - 44 x + 4 x^{2}$ и $g (x) = x$ .

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

Этап 2.5.2

Умножим $121 - 44 x + 4 x^{2}$ на $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

Этап 2.5.3

По правилу суммы производная $121 - 44 x + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 2.5.4

Поскольку $121$ является константой относительно $x$ , производная $121$ относительно $x$ равна $0$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (0 + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 2.5.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 44 x]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 2.5.6

Поскольку $- 44$ является константой относительно $x$ , производная $- 44 x$ по $x$ равна $- 44 \frac{d}{d x} [x]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 2.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 2.5.8

Умножим $- 44$ на $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 2.5.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 (2 x))$

Этап 2.5.11

Умножим $2$ на $4$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 8 x)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \cdot - 44 + x (8 x)$

Этап 2.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Перенесем $- 44$ влево от $x$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 \cdot x + x (8 x)$

Этап 2.6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x)$

Этап 2.6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Этап 2.6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{1 + 1}$

Этап 2.6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{2}$

Этап 2.6.2.6

Вычтем $44 x$ из $- 44 x$ .

$121 + 4 x^{2} - 88 x + 8 x^{2}$

Этап 2.6.2.7

Добавим $4 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$121 + 12 x^{2} - 88 x$

Этап 2.6.3

Изменим порядок членов.

$12 x^{2} - 88 x + 121$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 88 x + 121$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 88 x] + \frac{d}{d x} [121]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 88 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 88$ является константой относительно $x$ , производная $- 88 x$ по $x$ равна $- 88 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 88 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 88 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 88$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 88 + \frac{d}{d x} (121)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $121$ является константой относительно $x$ , производная $121$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 88 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $24 x - 88$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 88$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем ${(11 - 2 x)}^{2}$ в виде $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - 2 x) (11 - 2 x) x]$

Этап 5.1.2

Развернем $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 (11 - 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

Этап 5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

Этап 5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 5.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Умножим $11$ на $11$ .

$\frac{d}{d x} [(121 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 5.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $11$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 5.1.3.1.3

Умножим $11$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 x (- 2 x)) x]$

Этап 5.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x]$

Этап 5.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x]$

Этап 5.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x]$

Этап 5.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x + 4 x^{2}) x]$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $22 x$ из $- 22 x$ .

$\frac{d}{d x} [(121 - 44 x + 4 x^{2}) x]$

Этап 5.1.4

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

Этап 5.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

Этап 5.1.5.2

Умножим $121 - 44 x + 4 x^{2}$ на $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

Этап 5.1.5.3

По правилу суммы производная $121 - 44 x + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 5.1.5.4

Поскольку $121$ является константой относительно $x$ , производная $121$ относительно $x$ равна $0$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (0 + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 5.1.5.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 44 x]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 5.1.5.6

Поскольку $- 44$ является константой относительно $x$ , производная $- 44 x$ по $x$ равна $- 44 \frac{d}{d x} [x]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 5.1.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 5.1.5.8

Умножим $- 44$ на $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Этап 5.1.5.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.1.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 (2 x))$

Этап 5.1.5.11

Умножим $2$ на $4$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 8 x)$

Этап 5.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \cdot - 44 + x (8 x)$

Этап 5.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Перенесем $- 44$ влево от $x$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 \cdot x + x (8 x)$

Этап 5.1.6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x)$

Этап 5.1.6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Этап 5.1.6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{1 + 1}$

Этап 5.1.6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{2}$

Этап 5.1.6.2.6

Вычтем $44 x$ из $- 44 x$ .

$121 + 4 x^{2} - 88 x + 8 x^{2}$

Этап 5.1.6.2.7

Добавим $4 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$121 + 12 x^{2} - 88 x$

Этап 5.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 12 x^{2} - 88 x + 121$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 88 x + 121$ .

$12 x^{2} - 88 x + 121$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot 121 = 1452$ , а сумма — $b = - 88$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $- 88$ из $- 88 x$ .

$12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$

Этап 6.2.1.2

Запишем $- 88$ как $- 22$ плюс $- 66$

$12 x^{2} + (- 22 - 66) x + 121 = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x^{2} - 22 x - 66 x + 121 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(12 x^{2} - 22 x) - 66 x + 121 = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (6 x - 11) - 11 (6 x - 11) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 x - 11$ .

$(6 x - 11) (2 x - 11) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$6 x - 11 = 0$

$2 x - 11 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $6 x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $6 x - 11$ к $0$ .

$6 x - 11 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $6 x - 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 11$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $6 x = 11$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = 11$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{11}{6}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{11}{6}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{11}{6}$

Этап 6.5

Приравняем $2 x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $2 x - 11$ к $0$ .

$2 x - 11 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $2 x - 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 11$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 11$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 11$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Этап 6.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{11}{2}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(6 x - 11) (2 x - 11) = 0$ верно.

$x = \frac{11}{6}, \frac{11}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{11}{6}, \frac{11}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{11}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (\frac{11}{6}) - 88$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $24$ .

$6 (4) \frac{11}{6} - 88$

Этап 10.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \cdot 4 \frac{11}{6} - 88$

Этап 10.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 11 - 88$

Этап 10.1.2

Умножим $4$ на $11$ .

$44 - 88$

Этап 10.2

Вычтем $88$ из $44$ .

$- 44$

Этап 11

$x = \frac{11}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{11}{6}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{11}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(11 - 2 (\frac{11}{6}))}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(11 + 2 (- 1) (\frac{11}{6}))}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(11 + 2 \cdot (- 1 \frac{11}{2 \cdot 3}))}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11}{6}) = {(11 + 2 \cdot (- 1 \frac{11}{2 \cdot 3}))}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11}{6}) = {(11 - 1 (\frac{11}{3}))}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.1.2

Перепишем $- 1 (\frac{11}{3})$ в виде $- (\frac{11}{3})$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(11 - \frac{11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $11$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(11 \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.3

Объединим $11$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{11 \cdot 3}{3} - \frac{11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{11 \cdot 3 - 11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $11$ на $3$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{33 - 11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $11$ из $33$ .

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{22}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

Этап 12.2.6

Применим правило умножения к $\frac{22}{3}$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{22^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{11}{6}$

Этап 12.2.7

Объединим.

$f (\frac{11}{6}) = \frac{22^{2} \cdot 11}{3^{2} \cdot 6}$

Этап 12.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.8.1

Возведем $22$ в степень $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{484 \cdot 11}{3^{2} \cdot 6}$

Этап 12.2.8.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{484 \cdot 11}{9 \cdot 6}$

Этап 12.2.8.3

Умножим $484$ на $11$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{5324}{9 \cdot 6}$

Этап 12.2.8.4

Умножим $9$ на $6$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{5324}{54}$

Этап 12.2.9

Сократим общий множитель $5324$ и $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $5324$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2 (2662)}{54}$

Этап 12.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2 \cdot 2662}{2 \cdot 27}$

Этап 12.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2 \cdot 2662}{2 \cdot 27}$

Этап 12.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2662}{27}$

Этап 12.2.10

Окончательный ответ: $\frac{2662}{27}$ .

$y = \frac{2662}{27}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{11}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (\frac{11}{2}) - 88$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$2 (12) \frac{11}{2} - 88$

Этап 14.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 12 \frac{11}{2} - 88$

Этап 14.1.1.3

Перепишем это выражение.

$12 \cdot 11 - 88$

Этап 14.1.2

Умножим $12$ на $11$ .

$132 - 88$

Этап 14.2

Вычтем $88$ из $132$ .

$44$

Этап 15

$x = \frac{11}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{11}{2}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{11}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11}{2}$ .

$f (\frac{11}{2}) = {(11 - 2 (\frac{11}{2}))}^{2} (\frac{11}{2})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{11}{2}) = {(11 + 2 (- 1) (\frac{11}{2}))}^{2} (\frac{11}{2})$

Этап 16.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11}{2}) = {(11 + 2 \cdot (- 1 (\frac{11}{2})))}^{2} (\frac{11}{2})$

Этап 16.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11}{2}) = {(11 - 1 \cdot 11)}^{2} (\frac{11}{2})$

Этап 16.2.1.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$f (\frac{11}{2}) = {(11 - 11)}^{2} (\frac{11}{2})$

Этап 16.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $11$ из $11$ .

$f (\frac{11}{2}) = 0^{2} (\frac{11}{2})$

Этап 16.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (\frac{11}{2}) = 0 (\frac{11}{2})$

Этап 16.2.2.3

Умножим $0$ на $\frac{11}{2}$ .

$f (\frac{11}{2}) = 0$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = {(11 - 2 x)}^{2} x$ .

$(\frac{11}{6}, \frac{2662}{27})$ — локальный максимум

$(\frac{11}{2}, 0)$ — локальный минимум

Этап 18