Математический анализ Примеры

$y = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8}{{(x + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 2.1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ в виде ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 8 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- 8 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$16 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $16$ на $1$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.4.2

Объединим $16$ и $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{16}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{16}{{(x + 1)}^{3}}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{3}})$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ в виде ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{3})}^{- 1})$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{3 \cdot - 1})$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 3})$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$f'' (x) = 16 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = 16 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 3$ на $16$ .

$f'' (x) = - 48 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Этап 3.3.5.2

Умножим $- 48$ на $1$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 48$ и $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 48}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{48}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{16}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7