Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Этап 1

Запишем $y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ в виде ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 8 - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $8 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 2.9

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Этап 2.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Этап 2.13.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Этап 2.13.3

Объединим $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.13.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.3

Перенесем $2$ влево от ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.9.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.9.3

Перенесем ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.9.4

Объединим $\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $8 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.11

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.12

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.14

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 (\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.14.2

Умножим $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 x^{2})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.16.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.16.3

Объединим $\frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2} x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.17

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 (x^{2} x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2 + 2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.17.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{4}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.18

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.19.2

Сократим общий множитель.

Этап 3.19.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{4}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.20

Изменим порядок $8$ и $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.21

Чтобы записать $2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.23

Умножим ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.23.1

Перенесем ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.23.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.23.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.23.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.23.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.24

Упростим $2 x {(- x^{3} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.25

Перепишем $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.26

Умножим $\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.27

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.28

Умножим ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.28.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.28.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.28.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.29

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Этап 3.30

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.1

Умножим $\frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 3.30.2

Добавим $- \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x \cdot x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.2.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.1.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{3 + 1}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.1.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{4}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.1.4

Умножим $8$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.2

Объединим противоположные члены в $- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.31.2.2.1

Добавим $- 2 x^{4}$ и $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x + 0}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.31.2.2.2

Добавим $16 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ в виде ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.2.2

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.7.3

Перенесем ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Этап 5.1.8

По правилу суммы производная $8 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 5.1.9

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 5.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 5.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Этап 5.1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Этап 5.1.13.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Этап 5.1.13.3

Объединим $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.13.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.14.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 5.1.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ в виде ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(8 - x^{3})}^{2} = 0$

Этап 7.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(2^{3} - x^{3})}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

${((2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

${((2 - x) (4 + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.4

Применим правило умножения к $(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})$ .

${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.3

Приравняем ${(2 - x)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Приравняем ${(2 - x)}^{2}$ к $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.3.2

Решим ${(2 - x)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 7.3.3.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 7.3.3.3.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3.3.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3.3.3.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3.3.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 7.3.3.4

Приравняем ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.1

Приравняем ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ к $0$ .

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.4.2

Решим ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.3.3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.3.3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm 0$

Этап 7.3.3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$4 + 2 x + x^{2} = 0$

Этап 7.3.3.4.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.3.3.4.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.3.4.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.3.3.4.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.3.4.2.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.3.3.4.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 7.3.3.4.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.3.4.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.3.4.2.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.3.3.4.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.3.3.4.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.3.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ верно.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 2$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{16 (0)}{{(- {(0)}^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $16$ на $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{0}{{(0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$- \frac{0}{8^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- \frac{0}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 10.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 10.2.5.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{0}{2^{5}}$

Этап 10.2.6

Возведем $2$ в степень $5$ .

$- \frac{0}{32}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим $0$ на $32$ .

$- 0$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.2.2.2

Добавим $8$ и $8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, 2)$ в первую производную $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{{(8 - {(1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3.2.2.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$f' (1) = - \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(8 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.4.2.2.2

Вычтем $64$ из $8$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 11.6

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 12