Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$

Этап 1

Запишем $y = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ в виде ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 2.12

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \cdot 1)$

Этап 2.14

Умножим $- 12$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$ .

$(8 x - 12) \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.15.2

Умножим $8 x - 12$ на $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 x - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.15.3

Вынесем множитель $4$ из $8 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.15.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.15.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 3}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 3$ и $g (x) = {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.7.2

Перенесем $2$ влево от ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} - 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.9.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.9.3

Перенесем ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.13

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.14

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12 \frac{d}{d x} x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12 \cdot 1))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.16.2

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} (8 x - 12))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.3

Умножим $\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ на $8 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (8 x - 12)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x) - 12)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x) + 4 (- 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 \cdot (4 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{8 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.5

Умножим $- 2 x + 3$ на $\frac{8 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- 2 x + 3) (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- (2 x) + 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- (2 x) - 1 \cdot - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- (2 x - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.4

Перепишем $- (2 x - 3)$ в виде $- 1 (2 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 (2 x - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.5

Возведем $2 x - 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 ((2 x - 3) (2 x - 3)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.6

Возведем $2 x - 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 ((2 x - 3) (2 x - 3)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 {(2 x - 3)}^{1 + 1})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 {(2 x - 3)}^{2})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.6.9

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (- \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.8

Умножим $4 (- \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.8.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - 4 \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.8.2

Объединим $- 4$ и $\frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 (8 {(2 x - 3)}^{2})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.8.3

Умножим $8$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.10

Чтобы записать $8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.11

Объединим $8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}) - 32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.13

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2} + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14

Перепишем $\frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2} + 3 \cdot 8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.1

Перепишем ${(2 x - 3)}^{2}$ в виде $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 ((2 x - 3) (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.2

Развернем $(2 x - 3) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 12 x + 9) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2}) - 32 (- 12 x) - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.5.1

Умножим $4$ на $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} - 32 (- 12 x) - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.5.2

Умножим $- 12$ на $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.5.3

Умножим $- 32$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.6

Умножим ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.6.1

Перенесем ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 ({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{3}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.6.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 (4 x^{2} - 12 x))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.7

Упростим $3 \cdot 8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 (4 x^{2} - 12 x))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.8

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 24 (4 x^{2} - 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 24 (4 x^{2}) + 24 (- 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.10

Умножим $4$ на $24$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 96 x^{2} + 24 (- 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.11

Умножим $- 12$ на $24$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 96 x^{2} - 288 x}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.12

Добавим $- 128 x^{2}$ и $96 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 x^{2} + 384 x - 288 - 288 x}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.13

Вычтем $288 x$ из $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 x^{2} + 96 x - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.14

Вынесем множитель $32$ из $- 32 x^{2} + 96 x - 288$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.3.14.14.1

Вынесем множитель $32$ из $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 96 x - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.14.2

Вынесем множитель $32$ из $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 32 (3 x) - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.14.3

Вынесем множитель $32$ из $- 288$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 32 (3 x) + 32 (- 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.14.4

Вынесем множитель $32$ из $32 (- x^{2}) + 32 (3 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x) + 32 (- 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.3.14.14.5

Вынесем множитель $32$ из $32 (- x^{2} + 3 x) + 32 (- 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.4.1

Перепишем $\frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.4.2

Умножим $\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 3.17.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17.4.4

Умножим ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.4.4.1

Перенесем ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 ({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 3.17.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 3.17.4.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Этап 3.17.4.4.4

Добавим $4$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2}) + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2}) - (- 3 x) - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 3 x)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x) - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.8

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 3 x) - 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x + 9))}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.10

Перепишем $- (x^{2} - 3 x + 9)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- 1 (x^{2} - 3 x + 9))}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.17.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{32 (x^{2} - 3 x + 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ в виде ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.2.2

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.7.3

Перенесем ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Этап 5.1.8

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 5.1.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 5.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 5.1.11

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Этап 5.1.12

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \cdot 1)$

Этап 5.1.14

Умножим $- 12$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$

Этап 5.1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$ .

$(8 x - 12) \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.15.2

Умножим $8 x - 12$ на $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 x - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.15.3

Вынесем множитель $4$ из $8 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.15.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.15.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.15.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (2 x - 3) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $4 (2 x - 3) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $4 (2 x - 3) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (2 x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Разделим $2 x - 3$ на $1$ .

$2 x - 3 = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{4 (2 x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}$ в виде ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{2} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$27 {(4 x (x) - 12 x)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 12 x$ .

$27 {(4 x (x) + 4 x (- 3))}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (- 3)$ .

$27 {(4 x (x - 3))}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.2.1

Применим правило умножения к $4 x (x - 3)$ .

$27 ({(4 x)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Этап 7.3.3.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$27 {(4 x)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.3.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$27 (4^{2} x^{2}) {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$27 \cdot (4^{2} x^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Этап 7.3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 7.3.3.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.3.3.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.3.3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.3.3.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7.3.3.4

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.3.3.4.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.3.3.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.3.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $27 \cdot (4^{2} x^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 7.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0, x = 3$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{3}{2}, 0, 3$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{32 ({(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.4

Умножим $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.4.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.6

Чтобы записать $- \frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.7.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{32 (\frac{9 - 9 \cdot 2}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.9.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9 - 18}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.9.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.10

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.11

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{32 \frac{- 9 + 9 \cdot 4}{4}}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.13.1

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{32 \frac{- 9 + 36}{4}}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.13.2

Добавим $- 9$ и $36$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 \frac{9}{2^{2}} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 + 2 (- 6) \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 + 2 \cdot - 6 \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 6 \cdot 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.1.6

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $32$ и $\frac{27}{4}$ .

$- \frac{\frac{32 \cdot 27}{4}}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Умножим $32$ на $27$ .

$- \frac{\frac{864}{4}}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.2.2

Разделим $864$ на $4$ .

$- \frac{216}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $9$ из $216$ .

$- \frac{9 \cdot 24}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{9 \cdot 24}{9 ({(- 9)}^{\frac{5}{3}})}$

Этап 10.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{9 \cdot 24}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{24}{{(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 11

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{2^{2}}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 12 (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 + 2 (- 6) (\frac{3}{2})}$

Этап 12.2.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 + 2 \cdot (- 6 (\frac{3}{2}))}$

Этап 12.2.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 6 \cdot 3}$

Этап 12.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 18}$

Этап 12.2.4.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{- 9}$

Этап 12.2.5

Перепишем $- 9$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 9}$

Этап 12.2.5.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 9}$

Этап 12.2.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{3}{2}) = - 1 \sqrt[3]{9}$

Этап 12.2.7

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{9}$ в виде $- \sqrt[3]{9}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sqrt[3]{9}$

Этап 12.2.8

Окончательный ответ: $- \sqrt[3]{9}$ .

$y = - \sqrt[3]{9}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(4 \cdot 0 - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(0 - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.1.3

Умножим $- 12$ на $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(0 + 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 14.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 14.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Этап 14.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0}$

Этап 14.2.4.2

Умножим $9$ на $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Этап 14.2.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Этап 14.2.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Этап 14.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (2 (- 2) - 3)}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 4 - 3)}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.1.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(4 \cdot 4 - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(16 - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.2.1.3

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(16 + 24)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.2.2

Добавим $16$ и $24$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1

Умножим $4$ на $- 7$ .

$f' (- 2) = \frac{- 28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{3}{2})$ в первую производную $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{4 (2 (1) - 3)}{3 {(4 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{4 (2 - 3)}{3 {(4 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.1.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 \cdot 1 - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.1.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 - 12)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.3

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 15.3.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 15.3.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Этап 15.3.2.2.6

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Этап 15.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (1) = \frac{- 4}{3 \cdot 4}$

Этап 15.3.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (1) = \frac{- 4}{12}$

Этап 15.3.2.3.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (1) = \frac{4 (- 1)}{12}$

Этап 15.3.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Этап 15.3.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Этап 15.3.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (1) = \frac{- 1}{3}$

Этап 15.3.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

Этап 15.3.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(\frac{3}{2}, 3)$ в первую производную $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (2 (2) - 3)}{3 {(4 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (4 - 3)}{3 {(4 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(4 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(4 \cdot 4 - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(16 - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.1.3

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(16 - 24)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.2

Вычтем $24$ из $16$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.3

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 15.4.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 15.4.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Этап 15.4.2.2.6

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Этап 15.4.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{3 \cdot 4}$

Этап 15.4.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (2) = \frac{4}{12}$

Этап 15.4.2.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f' (2) = \frac{4 (1)}{12}$

Этап 15.4.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 15.4.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 15.4.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (2) = \frac{1}{3}$

Этап 15.4.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 15.5

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3, \infty)$ в первую производную $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{4 (2 (6) - 3)}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $4 (2 (6) - 3)$ .

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 ({(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 15.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (6) = \frac{4 (2 \cdot (2) - 1)}{{(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (6) = \frac{4 (4 - 1)}{{(4 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.3.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(4 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(4 \cdot 36 - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.4.1.2

Умножим $4$ на $36$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(144 - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.4.1.3

Умножим $- 12$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(144 - 72)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.4.2

Вычтем $72$ из $144$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{72^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (6) = \frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 15.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{3}{2}$ , $x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 15.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 3$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 15.9

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ .

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 16