Математический анализ Примеры

$y = x^{3} \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Этап 2.3.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 3.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.5

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.6.2.3

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.6.2.4

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.2.6.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x + \ln (x) (2 x))$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 3 (\ln (x) (2 x))$

Этап 3.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 6 (\ln (x) (x))$

Этап 3.3.2.2

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = 5 x + 6 \ln (x) x$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 6 x \ln (x) + 5 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Этап 5.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Этап 6.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ на $3 x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ на $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Этап 6.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{3}}$

Этап 6.5

Перепишем $\ln (x) = - \frac{1}{3}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3}} = x$

Этап 6.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{1}{3}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{3}}$

Этап 6.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 7.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.2

Перенесем $e^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (e^{- \frac{1}{3}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.3

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ , вынося $- \frac{1}{3}$ из логарифма.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \ln (e)) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \cdot 1) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.6.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2)}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.7

Объединим $\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}}$ и $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 10.1.10

Объединим $5$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$\frac{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2.2.2

Упростим.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Этап 12.2.3

Перенесем $e^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{3}})$

Этап 12.2.4

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ , вынося $- \frac{1}{3}$ из логарифма.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \ln (e))$

Этап 12.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 12.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3})$

Этап 12.2.7

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{e \cdot 3}$

Этап 12.2.8

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{3 e}$

Этап 12.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3 e}$ .

$y = - \frac{1}{3 e}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}, - \frac{1}{3 e})$ — локальный минимум

Этап 14