Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x + 1$

Этап 1

Запишем $y = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x + 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x + 1$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ и $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $12 x^{2} - 18 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$

Этап 6.2

Разложим $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 6.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Этап 6.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$4 \cdot 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 6.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 \cdot 8 - 9 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 6.2.3.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - 9 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 6.2.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 - 9 \cdot 4 + 4$

Этап 6.2.3.5

Умножим $- 9$ на $4$ .

$32 - 36 + 4$

Этап 6.2.3.6

Вычтем $36$ из $32$ .

$- 4 + 4$

Этап 6.2.3.7

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 6.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 4}{x - 2}$

Этап 6.2.5

Разделим $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 6.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Этап 6.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 6.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 8 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 6.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 6.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 6.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 6.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 6.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 6.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$

Этап 6.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$

Этап 6.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$

Этап 6.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	+	$4$

Этап 6.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 4$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	-	$4$

Этап 6.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	-	$4$
										$0$

Этап 6.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - x - 2$

Этап 6.2.6

Запишем $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (4 x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$4 x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.5

Приравняем $4 x^{2} - x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $4 x^{2} - x - 2$ к $0$ .

$4 x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $4 x^{2} - x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 1$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.3.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.4.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.5.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (4 x^{2} - x - 2) = 0$ верно.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(2)}^{2} - 18 \cdot 2$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 \cdot 4 - 18 \cdot 2$

Этап 10.1.2

Умножим $12$ на $4$ .

$48 - 18 \cdot 2$

Этап 10.1.3

Умножим $- 18$ на $2$ .

$48 - 36$

Этап 10.2

Вычтем $36$ из $48$ .

$12$

Этап 11

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4 (2) + 1$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4 (2) + 1$

Этап 12.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4 (2) + 1$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$f (2) = 16 - 24 + 4 (2) + 1$

Этап 12.2.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = 16 - 24 + 8 + 1$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $24$ из $16$ .

$f (2) = - 8 + 8 + 1$

Этап 12.2.2.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (2) = 0 + 1$

Этап 12.2.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (2) = 1$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{2} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$12 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$12 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$4 \cdot 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.3.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.3.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.4

Объединим $3$ и $\frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.5

Перепишем ${(1 + \sqrt{33})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ .

$\frac{3 ((1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.6

Развернем $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 (1 + \sqrt{33}) + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.1.2

Умножим $\sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.1.3

Умножим $\sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33 \cdot 33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.1.5

Умножим $33$ на $33$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{1089})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.1.6

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33^{2}})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + 33)}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.2

Добавим $1$ и $33$ .

$\frac{3 (34 + \sqrt{33} + \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.7.3

Добавим $\sqrt{33}$ и $\sqrt{33}$ .

$\frac{3 (34 + 2 \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.8

Сократим общий множитель $34 + 2 \sqrt{33}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (34 + 2 \sqrt{33})$ .

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{2 (8)} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 (- 9) \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 14.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 14.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Этап 14.1.10

Объединим $- 9$ и $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + \frac{- 9 (1 + \sqrt{33})}{4}$

Этап 14.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$

Этап 14.2

Чтобы записать $- \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 14.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 14.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33}) - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 17 + 3 \sqrt{33} - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 14.5.2

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 14.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} + (- 9 \cdot 1 - 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 14.5.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} + (- 9 - 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 14.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 9 \cdot 2 - 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 14.5.6

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 18 - 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 14.5.7

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 18 - 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.5.8

Вычтем $18$ из $51$ .

$\frac{33 + 3 \sqrt{33} - 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 14.5.9

Вычтем $18 \sqrt{33}$ из $3 \sqrt{33}$ .

$\frac{33 - 15 \sqrt{33}}{8}$

Этап 15

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{4}}{8^{4}} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 {\sqrt{33}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 16.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.7

Умножим $6$ на $33$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.8

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 {\sqrt{33}}^{3} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.9

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{33^{3}} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.10

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{35937} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.11

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.11.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{1089 (33)} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.11.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{33^{2} \cdot 33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (33 \sqrt{33}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.13

Умножим $33$ на $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14

Перепишем ${\sqrt{33}}^{4}$ в виде $33^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{4}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.14.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{2}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.4.15

Возведем $33$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.5

Добавим $1$ и $198$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{199 + 4 \sqrt{33} + 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.6

Добавим $199$ и $1089$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 + 4 \sqrt{33} + 132 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.7

Добавим $4 \sqrt{33}$ и $132 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 + 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.8

Сократим общий множитель $1288 + 136 \sqrt{33}$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.8.1

Вынесем множитель $8$ из $1288$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.8.2

Вынесем множитель $8$ из $136 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 8 (17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.8.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (161) + 8 (17 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $8$ из $4096$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{3}}{8^{3}} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.10

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.11

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.12.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1 \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 {\sqrt{33}}^{2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.5

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.12.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.12.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.6

Умножим $3$ на $33$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.7

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{33^{3}}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.8

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{35937}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.9

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.12.9.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{1089 (33)}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.9.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{33^{2} \cdot 33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.12.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.13

Добавим $1$ и $99$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 + 3 \sqrt{33} + 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.14

Добавим $3 \sqrt{33}$ и $33 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 + 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.15

Сократим общий множитель $100 + 36 \sqrt{33}$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.15.2

Вынесем множитель $4$ из $36 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 4 (9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.15.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (25) + 4 (9 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.15.4.1

Вынесем множитель $4$ из $512$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.15.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.15.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{25 + 9 \sqrt{33}}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.16

Объединим $- 3$ и $\frac{25 + 9 \sqrt{33}}{128}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} + \frac{- 3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{(3) (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 16.2.1.18

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.18.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{4 (2)}) + 1$

Этап 16.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{4 \cdot 2}) + 1$

Этап 16.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2} + 1$

Этап 16.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Умножим $\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - (\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1 + \sqrt{33}}{2} + 1$

Этап 16.2.2.2

Умножим $\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2} + 1$

Этап 16.2.2.3

Умножим $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \cdot \frac{256}{256} + 1$

Этап 16.2.2.4

Умножим $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + 1$

Этап 16.2.2.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{1}{1}$

Этап 16.2.2.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{1}{1} \cdot \frac{512}{512}$

Этап 16.2.2.7

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{512}{512}$

Этап 16.2.2.8

Изменим порядок множителей в $128 \cdot 4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{512}{512}$

Этап 16.2.2.9

Умножим $4$ на $128$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{512}{512}$

Этап 16.2.2.10

Умножим $2$ на $256$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512} + \frac{512}{512}$

Этап 16.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 3 \cdot 25 - 3 (9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 75 - 3 (9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.3

Умножим $9$ на $- 3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 75 - 27 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 75 \cdot 4 - 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.5

Умножим $- 75$ на $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.6

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 1 \cdot 256 + \sqrt{33} \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.8

Умножим $256$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 256 + \sqrt{33} \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 16.2.4.9

Перенесем $256$ влево от $\sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 256 + 256 \sqrt{33} + 512}{512}$

Этап 16.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1

Вычтем $300$ из $161$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{- 139 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 + 256 \sqrt{33} + 512}{512}$

Этап 16.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.2.1

Добавим $- 139$ и $256$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33} + 512}{512}$

Этап 16.2.5.2.2

Добавим $117$ и $512$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{629 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 16.2.5.3

Вычтем $108 \sqrt{33}$ из $17 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{629 - 91 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 16.2.5.4

Добавим $- 91 \sqrt{33}$ и $256 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{629 + 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 16.2.6

Окончательный ответ: $\frac{629 + 165 \sqrt{33}}{512}$ .

$y = \frac{629 + 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{2} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$12 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$12 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$4 \cdot 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.3.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.3.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.4

Объединим $3$ и $\frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.5

Перепишем ${(1 - \sqrt{33})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ .

$\frac{3 ((1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.6

Развернем $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 (1 - \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.2

Умножим $- \sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.4

Умножим $- \sqrt{33} (- \sqrt{33})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.4.2

Умножим $\sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.4.3

Возведем $\sqrt{33}$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.4.4

Возведем $\sqrt{33}$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} {\sqrt{33}}^{1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1 + 1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.5

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.7.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.7.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33)}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.2

Добавим $1$ и $33$ .

$\frac{3 (34 - \sqrt{33} - \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.7.3

Вычтем $\sqrt{33}$ из $- \sqrt{33}$ .

$\frac{3 (34 - 2 \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.8

Сократим общий множитель $34 - 2 \sqrt{33}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (34 - 2 \sqrt{33})$ .

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{2 (8)} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 (- 9) \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 18.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 18.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 18.1.10

Объединим $- 9$ и $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + \frac{- 9 (1 - \sqrt{33})}{4}$

Этап 18.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$

Этап 18.2

Чтобы записать $- \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 18.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим $\frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 18.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 18.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 17 + 3 (- \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.2

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{51 + 3 (- \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 \cdot 1 - 9 (- \sqrt{33})) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.5

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 - 9 (- \sqrt{33})) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.6

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 + 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 9 \cdot 2 + 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.8

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 18 + 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 18.5.9

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 18 + 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.5.10

Вычтем $18$ из $51$ .

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} + 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 18.5.11

Добавим $- 3 \sqrt{33}$ и $18 \sqrt{33}$ .

$\frac{33 + 15 \sqrt{33}}{8}$

Этап 19

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{4}}{8^{4}} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 (- \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.6

Умножим $6$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {(- \sqrt{33})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 (1 {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.9

Умножим ${\sqrt{33}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {\sqrt{33}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.10

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.10.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 20.2.1.4.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.10.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.11

Умножим $6$ на $33$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.12

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 {(- \sqrt{33})}^{3} + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.13

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{33}}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- {\sqrt{33}}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.15

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{33^{3}}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.16

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{35937}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.17

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.17.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{1089 (33)}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.17.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{33^{2} \cdot 33}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.18

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- (33 \sqrt{33})) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.19

Умножим $33$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- 33 \sqrt{33}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.20

Умножим $- 33$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.21

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.22

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 1 {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.23

Умножим ${\sqrt{33}}^{4}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24

Перепишем ${\sqrt{33}}^{4}$ в виде $33^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.24.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{4}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.24.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.24.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.24.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{2}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.4.25

Возведем $33$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.5

Добавим $1$ и $198$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{199 - 4 \sqrt{33} - 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.6

Добавим $199$ и $1089$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 - 4 \sqrt{33} - 132 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.7

Вычтем $132 \sqrt{33}$ из $- 4 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 - 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.8

Сократим общий множитель $1288 - 136 \sqrt{33}$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.8.1

Вынесем множитель $8$ из $1288$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) - 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.8.2

Вынесем множитель $8$ из $- 136 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 8 (- 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.8.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (161) + 8 (- 17 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $8$ из $4096$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{3}}{8^{3}} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.10

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.11

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.12.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 (- \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {(- \sqrt{33})}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.8

Умножим ${\sqrt{33}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {\sqrt{33}}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.9

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.12.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.12.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.10

Умножим $3$ на $33$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.13

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{33^{3}}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.14

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{35937}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.15

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.12.15.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{1089 (33)}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.15.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{33^{2} \cdot 33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - (33 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.12.17

Умножим $33$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.13

Добавим $1$ и $99$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 - 3 \sqrt{33} - 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.14

Вычтем $33 \sqrt{33}$ из $- 3 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 - 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.15

Сократим общий множитель $100 - 36 \sqrt{33}$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) - 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.15.2

Вынесем множитель $4$ из $- 36 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 4 (- 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.15.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (25) + 4 (- 9 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.15.4.1

Вынесем множитель $4$ из $512$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.15.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.15.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{25 - 9 \sqrt{33}}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.16

Объединим $- 3$ и $\frac{25 - 9 \sqrt{33}}{128}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} + \frac{- 3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{(3) (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) + 1$

Этап 20.2.1.18

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.18.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{4 (2)}) + 1$

Этап 20.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{4 \cdot 2}) + 1$

Этап 20.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2} + 1$

Этап 20.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1

Умножим $\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - (\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1 - \sqrt{33}}{2} + 1$

Этап 20.2.2.2

Умножим $\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2} + 1$

Этап 20.2.2.3

Умножим $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2} \cdot \frac{256}{256} + 1$

Этап 20.2.2.4

Умножим $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + 1$

Этап 20.2.2.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{1}{1}$

Этап 20.2.2.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{1}{1} \cdot \frac{512}{512}$

Этап 20.2.2.7

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{512}{512}$

Этап 20.2.2.8

Изменим порядок множителей в $128 \cdot 4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{512}{512}$

Этап 20.2.2.9

Умножим $4$ на $128$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256} + \frac{512}{512}$

Этап 20.2.2.10

Умножим $2$ на $256$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512} + \frac{512}{512}$

Этап 20.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 3 \cdot 25 - 3 (- 9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 75 - 3 (- 9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.3

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 75 + 27 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 75 \cdot 4 + 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.5

Умножим $- 75$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.6

Умножим $4$ на $27$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 1 \cdot 256 - \sqrt{33} \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.8

Умножим $256$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 256 - \sqrt{33} \cdot 256 + 512}{512}$

Этап 20.2.4.9

Умножим $256$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 256 - 256 \sqrt{33} + 512}{512}$

Этап 20.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.1

Вычтем $300$ из $161$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{- 139 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} + 256 - 256 \sqrt{33} + 512}{512}$

Этап 20.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.2.1

Добавим $- 139$ и $256$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33} + 512}{512}$

Этап 20.2.5.2.2

Добавим $117$ и $512$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{629 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 20.2.5.3

Добавим $- 17 \sqrt{33}$ и $108 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{629 + 91 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 20.2.5.4

Вычтем $256 \sqrt{33}$ из $91 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{629 - 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 20.2.6

Окончательный ответ: $\frac{629 - 165 \sqrt{33}}{512}$ .

$y = \frac{629 - 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 21

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x + 1$ .

$(2, 1)$ — локальный минимум

$(\frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{629 + 165 \sqrt{33}}{512})$ — локальный максимум

$(\frac{1 - \sqrt{33}}{8}, \frac{629 - 165 \sqrt{33}}{512})$ — локальный минимум

Этап 22