Математический анализ Примеры

$y = 3 \arccos (x^{6})$

Этап 1

Запишем $y = 3 \arccos (x^{6})$ в виде функции.

$f (x) = 3 \arccos (x^{6})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \arccos (x^{6})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 2.2.2

Производная $\arccos (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{6 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 2.3.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 2.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} (6 x^{5})$

Этап 2.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Этап 2.3.4.2

Объединим $- 6$ и $\frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Этап 2.3.4.4

Объединим $\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ и $x^{5}$ .

$\frac{- 18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Этап 2.3.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{12}}$ в виде ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.1.2

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.4

Упростим.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.5.2

Перенесем $5$ влево от ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 \cdot ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{{(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.11.3

Перенесем ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12})}{1 - x^{12}}$

Этап 3.12

По правилу суммы производная $1 - x^{12}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Этап 3.14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{12})}{1 - x^{12}}$

Этап 3.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{12}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{12})}{1 - x^{12}}$

Этап 3.16

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 1 (\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Этап 3.16.2

Умножим $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Этап 3.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (12 x^{11})}{1 - x^{12}}$

Этап 3.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Объединим $12$ и $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{11}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.18.2

Объединим $\frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5} x^{11}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.19

Умножим $x^{5}$ на $x^{11}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1

Перенесем $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 (x^{11} x^{5})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{11 + 5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.19.3

Добавим $11$ и $5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{16}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.20

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{16}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.21

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.21.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.21.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.21.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{6 x^{16}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.22

Изменим порядок $1$ и $- x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.23

Чтобы записать $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.25

Умножим ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.25.1

Перенесем ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} ({(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.25.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.25.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.25.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{2}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.25.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.26

Упростим $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Этап 3.27

Перепишем $\frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - 18 (\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{12}})$

Этап 3.28

Умножим $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{1 - x^{12}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{12})}$

Этап 3.29

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Этап 3.30

Умножим ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{12} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.1

Умножим ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{12} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.1.1

Возведем $- x^{12} + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Этап 3.30.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 3.30.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 3.30.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 3.30.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.31

Объединим $- 18$ и $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.32

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.33.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12}) + 5 x^{4} \cdot 1 + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12})) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.33.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.33.3.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{12}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.33.3.1.1.1

Перенесем $x^{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 (x^{12} x^{4}) \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{12 + 4} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.1.3

Добавим $12$ и $4$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{16} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (- 5 x^{16}) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.3

Умножим $- 5$ на $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4}) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.5

Умножим $5$ на $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.1.6

Умножим $6$ на $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 108 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.3.2

Добавим $- 90 x^{16}$ и $108 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{16} + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.4

Вынесем множитель $18 x^{4}$ из $18 x^{16} + 90 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.33.4.1

Вынесем множитель $18 x^{4}$ из $18 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.4.2

Вынесем множитель $18 x^{4}$ из $90 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.33.4.3

Вынесем множитель $18 x^{4}$ из $18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12} + 5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}} = 0$

Этап 5

Приравняем числитель к нулю.

$18 x^{5} = 0$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $18 x^{5} = 0$ на $18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $18 x^{5} = 0$ на $18$ .

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Этап 6.1.2.1.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{18}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разделим $0$ на $18$ .

$x^{5} = 0$

Этап 6.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 6.3

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{18 {(0)}^{4} ({(0)}^{12} + 5)}{{(- {(0)}^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} (0 + 5)}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.1.2

Добавим $0$ и $5$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} \cdot 5}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.1.3

Умножим $5$ на $18$ .

$- \frac{90 \cdot 0^{4}}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{1^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{90 \cdot 0}{1}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $90$ на $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Этап 8.3.2

Разделим $0$ на $1$ .

$- 0$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 {(- 0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $- 0.5$ в степень $5$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Этап 9.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Возведем $- 0.5$ в степень $12$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Этап 9.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0.00024414$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Этап 9.2.2.2.3

Вычтем $0.00024414$ из $1$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Умножим $18$ на $- 0.03125$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{- 0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.4

Умножим $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ на $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.1

Умножим $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ на $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.5.2

Возведем $\sqrt{0.99975585}$ в степень $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.5.3

Возведем $\sqrt{0.99975585}$ в степень $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.2.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Этап 9.2.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Этап 9.2.2.5.6

Перепишем ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ в виде $0.99975585$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0.99975585}$ в виде ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.2.2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Этап 9.2.2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Этап 9.2.2.6

Умножим $0.5625$ на $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Этап 9.2.2.7

Разделим $0.56243133$ на $0.99975585$ .

$f' (- 0.5) = - (- 1 \cdot 0.56256867)$

Этап 9.2.2.8

Умножим $- (- 1 \cdot 0.56256867)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.8.1

Умножим $- 1$ на $0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Этап 9.2.2.8.2

Умножим $- 1$ на $- 0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Этап 9.2.2.9

Окончательный ответ: $0.56256867$ .

$0.56256867$

Этап 9.3

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 {(0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(0.5)}^{12}}}$

Этап 9.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Возведем $0.5$ в степень $5$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - {0.5}^{12}}}$

Этап 9.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Возведем $0.5$ в степень $12$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Этап 9.3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0.00024414$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Этап 9.3.2.2.3

Вычтем $0.00024414$ из $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.3.2.3

Умножим $18$ на $0.03125$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.3.2.4

Умножим $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ на $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - (\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}})$

Этап 9.3.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.5.1

Умножим $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ на $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.3.2.5.2

Возведем $\sqrt{0.99975585}$ в степень $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.3.2.5.3

Возведем $\sqrt{0.99975585}$ в степень $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Этап 9.3.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Этап 9.3.2.5.6

Перепишем ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ в виде $0.99975585$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0.99975585}$ в виде ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Этап 9.3.2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Этап 9.3.2.6

Умножим $0.5625$ на $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Этап 9.3.2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.7.1

Разделим $0.56243133$ на $0.99975585$ .

$f' (0.5) = - 1 \cdot 0.56256867$

Этап 9.3.2.7.2

Умножим $- 1$ на $0.56256867$ .

$f' (0.5) = - 0.56256867$

Этап 9.3.2.8

Окончательный ответ: $- 0.56256867$ .

$- 0.56256867$

Этап 9.4

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 10