Математический анализ Примеры

$y = - 2 x + \sin (4 x)$

Этап 1

Запишем $y = - 2 x + \sin (4 x)$ в виде функции.

$f (x) = - 2 x + \sin (4 x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x + \sin (4 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$- 2 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 + \cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$- 2 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- 2 + \cos (4 x) \cdot 4$

Этап 2.3.5

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$- 2 + 4 \cos (4 x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $- 2 + 4 \cos (4 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2) + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (4 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (\cos (4 x))$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (4 x))$

Этап 3.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (4 x))$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Этап 3.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Этап 3.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Этап 3.2.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- 4 \sin (4 x))$

Этап 3.2.7

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f'' (x) = 0 - 16 \sin (4 x)$

Этап 3.3

Вычтем $16 \sin (4 x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 + 4 \cos (4 x) = 0$

Этап 5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 \cos (4 x) = 2$

Этап 6

Разделим каждый член $4 \cos (4 x) = 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $4 \cos (4 x) = 2$ на $4$ .

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\cos (4 x)$ на $1$ .

$\cos (4 x) = \frac{2}{4}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\cos (4 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Этап 6.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (4 x) = \frac{1}{2}$

Этап 7

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$4 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Этап 9

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 9.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 10

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$4 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 11.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 11.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 11.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 11.1.5

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$4 x = \frac{5 π}{3}$

Этап 11.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Этап 11.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Этап 11.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Этап 11.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 4}$

Этап 11.2.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 12

Решение уравнения $4 x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{12}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 16 \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- 16 \sin (4 \frac{π}{4 (3)})$

Этап 14.1.2

Сократим общий множитель.

$- 16 \sin (4 \frac{π}{4 \cdot 3})$

Этап 14.1.3

Перепишем это выражение.

$- 16 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 14.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$2 (- 8) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 14.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 14.3.3

Перепишем это выражение.

$- 8 \sqrt{3}$

Этап 15

$x = \frac{π}{12}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{12}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 2 \frac{π}{12} + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{π}{12}) + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 16.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 16.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 16.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{12}) = - 1 \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 16.2.1.2

Перепишем $- 1 \frac{π}{6}$ в виде $- \frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Этап 16.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{4 (3)}))$

Этап 16.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 3}))$

Этап 16.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Этап 16.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 16.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{12}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 16 \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- 16 \sin (4 \frac{5 π}{4 (3)})$

Этап 18.1.2

Сократим общий множитель.

$- 16 \sin (4 \frac{5 π}{4 \cdot 3})$

Этап 18.1.3

Перепишем это выражение.

$- 16 \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 18.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 16 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 18.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 16 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 18.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$2 (- 8) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 18.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 8 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 18.4.4

Перепишем это выражение.

$- 8 (- \sqrt{3})$

Этап 18.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 \sqrt{3}$

Этап 19

$x = \frac{5 π}{12}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{12}$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 2 \frac{5 π}{12} + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{5 π}{12}) + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 20.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 20.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 20.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 1 \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 20.2.1.2

Перепишем $- 1 \frac{5 π}{6}$ в виде $- \frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Этап 20.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{4 (3)}))$

Этап 20.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{4 \cdot 3}))$

Этап 20.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 20.2.1.4

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 20.2.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 20.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 21

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 x + \sin (4 x)$ .

$(\frac{π}{12}, - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{12}, - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ — локальный минимум

Этап 22