Математический анализ Примеры

$y = 2 x + \frac{125}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $y = 2 x + \frac{125}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x + \frac{125}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x + \frac{125}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{125}{x^{2}}$ по $x$ равна $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 + 125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 + 125 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$2 + 125 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 + 125 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 + 125 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 + 125 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 125 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 + 125 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 + 125 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 2.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 + 125 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 + 125 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 2.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 + 125 (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.3.10

Умножим $- 2$ на $125$ .

$2 - 250 x^{- 3}$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 250 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Объединим $- 250$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{- 250}{x^{3}}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - \frac{250}{x^{3}}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{250}{x^{3}} + 2$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- \frac{250}{x^{3}} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{250}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{250}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{250}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 250$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{250}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 250 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 250 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 250 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 250 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 250 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 250 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 250 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 250 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 250 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 250 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = - 250 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.8

Умножим $- 3$ на $- 250$ .

$f'' (x) = 750 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 750 x^{- 4} + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 750 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $750$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{750}{x^{4}} + 0$

Этап 3.4.2.2

Добавим $\frac{750}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{750}{x^{4}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{250}{x^{3}} + 2 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $2 x + \frac{125}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{125}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{125}{x^{2}}$ по $x$ равна $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 + 125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 5.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 + 125 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 5.1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$2 + 125 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 + 125 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 + 125 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 + 125 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 5.1.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 125 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 5.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 + 125 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 5.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 + 125 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 5.1.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 + 125 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 5.1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 + 125 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 5.1.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 + 125 (- 2 x^{- 3})$

Этап 5.1.3.10

Умножим $- 2$ на $125$ .

$2 - 250 x^{- 3}$

Этап 5.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 250 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1.1

Объединим $- 250$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{- 250}{x^{3}}$

Этап 5.1.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - \frac{250}{x^{3}}$

Этап 5.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{250}{x^{3}} + 2$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{250}{x^{3}} + 2$ .

$- \frac{250}{x^{3}} + 2$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{250}{x^{3}} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{250}{x^{3}} + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{250}{x^{3}} = - 2$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 6.4

Каждый член в $- \frac{250}{x^{3}} = - 2$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $- \frac{250}{x^{3}} = - 2$ на $x^{3}$ .

$- \frac{250}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{250}{x^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 250}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 250}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 250 = - 2 x^{3}$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{3} = - 250$ .

$- 2 x^{3} = - 250$

Этап 6.5.2

Добавим $250$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{3} + 250 = 0$

Этап 6.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3} + 250$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 250 = 0$

Этап 6.5.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $250$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot - 125 = 0$

Этап 6.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{3}) - 2 (- 125)$ .

$- 2 (x^{3} - 125) = 0$

Этап 6.5.3.2

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$- 2 (x^{3} - 5^{3}) = 0$

Этап 6.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$- 2 ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Этап 6.5.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.4.1.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$- 2 ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) = 0$

Этап 6.5.3.4.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 2 ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = 0$

Этап 6.5.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Этап 6.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Этап 6.5.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.5.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.5.6

Приравняем $x^{2} + 5 x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.1

Приравняем $x^{2} + 5 x + 25$ к $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Этап 6.5.6.2

Решим $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.4.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.4.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.5.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.5.6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.5.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.5.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.5.6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ верно.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{250}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 7.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 5$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{750}{{(5)}^{4}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{750}{625}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $750$ и $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $125$ из $750$ .

$\frac{125 (6)}{625}$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $125$ из $625$ .

$\frac{125 \cdot 6}{125 \cdot 5}$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{125 \cdot 6}{125 \cdot 5}$

Этап 10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{5}$

Этап 11

$x = 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = 2 (5) + \frac{125}{{(5)}^{2}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f (5) = 10 + \frac{125}{{(5)}^{2}}$

Этап 12.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 10 + \frac{125}{25}$

Этап 12.2.1.3

Разделим $125$ на $25$ .

$f (5) = 10 + 5$

Этап 12.2.2

Добавим $10$ и $5$ .

$f (5) = 15$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $15$ .

$y = 15$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x + \frac{125}{x^{2}}$ .

$(5, 15)$ — локальный минимум

Этап 14