Математический анализ Примеры

$y = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Этап 1

Запишем $y = 2 x {(x - 2)}^{3}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(x - 2)}^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Этап 2.4.6

Умножим ${(x - 2)}^{3}$ на $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Этап 2.5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Этап 2.5.5

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 2.5.6

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 2.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 2.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 2.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 2.5.7.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 2.5.7.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Этап 2.5.7.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Этап 2.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Этап 2.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Этап 2.5.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Этап 2.5.10

Развернем $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.7

Умножим $- 8$ на $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.8

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.9

Умножим $4$ на $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Этап 2.5.11.10

Умножим $8$ на $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Этап 2.5.12

Вычтем $32 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Этап 2.5.13

Добавим $16 x$ и $32 x$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.4.3

Умножим $48$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $24 x^{2} - 72 x + 48$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(x - 2)}^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Этап 5.1.2

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Этап 5.1.4.6

Умножим ${(x - 2)}^{3}$ на $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Этап 5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 5.1.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 5.1.5.3

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.3.1

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 5.1.5.3.2

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Этап 5.1.5.3.3

Вынесем множитель $2 {(x - 2)}^{2}$ из $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Этап 5.1.5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.5

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.6

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.7.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.7.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.7.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.9.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Этап 5.1.5.10

Развернем $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.7

Умножим $- 8$ на $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.8

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.9

Умножим $4$ на $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Этап 5.1.5.11.10

Умножим $8$ на $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Этап 5.1.5.12

Вычтем $32 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Этап 5.1.5.13

Добавим $16 x$ и $32 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 36 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 48 x - 16 = 0$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $48 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) - 16 = 0$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Этап 6.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4) = 0$

Этап 6.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Этап 6.2.2

Разложим $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 6.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Этап 6.2.2.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Этап 6.2.2.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Этап 6.2.2.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Этап 6.2.2.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Этап 6.2.2.3.5

Умножим $- 9$ на $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Этап 6.2.2.3.6

Вычтем $2.25$ из $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Этап 6.2.2.3.7

Умножим $12$ на $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Этап 6.2.2.3.8

Добавим $- 2$ и $6$ .

$4 - 4$

Этап 6.2.2.3.9

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Этап 6.2.2.5

Разделим $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Этап 6.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Этап 6.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 6.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 6.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 6.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 6.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 6.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 6.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 6.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Этап 6.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Этап 6.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Этап 6.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Этап 6.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Этап 6.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Этап 6.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 4$

Этап 6.2.2.6

Запишем $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ в виде набора множителей.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Этап 6.2.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 6.2.3.1.3

Перепишем многочлен.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 6.2.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$4 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Этап 6.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6.5

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.5.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 {(\frac{1}{2})}^{2} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$24 \frac{1}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$24 (\frac{1}{4}) - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10.1.4.3

Перепишем это выражение.

$6 - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Этап 10.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$6 + 2 (- 36) \frac{1}{2} + 48$

Этап 10.1.5.2

Сократим общий множитель.

$6 + 2 \cdot - 36 \frac{1}{2} + 48$

Этап 10.1.5.3

Перепишем это выражение.

$6 - 36 + 48$

Этап 10.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $36$ из $6$ .

$- 30 + 48$

Этап 10.2.2

Добавим $- 30$ и $48$ .

$18$

Этап 11

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) \cdot {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Этап 12.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = 1 {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Этап 12.2.2

Умножим ${((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Этап 12.2.3

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Этап 12.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Этап 12.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Этап 12.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 4}{2})}^{3}$

Этап 12.2.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Этап 12.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Этап 12.2.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$

Этап 12.2.8.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})$

Этап 12.2.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Этап 12.2.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{2^{3}}$

Этап 12.2.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{8}$

Этап 12.2.12

Окончательный ответ: $- \frac{27}{8}$ .

$y = - \frac{27}{8}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2 + 48$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$24 \cdot 4 - 72 \cdot 2 + 48$

Этап 14.1.2

Умножим $24$ на $4$ .

$96 - 72 \cdot 2 + 48$

Этап 14.1.3

Умножим $- 72$ на $2$ .

$96 - 144 + 48$

Этап 14.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $144$ из $96$ .

$- 48 + 48$

Этап 14.2.2

Добавим $- 48$ и $48$ .

$0$

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{1}{2})$ в первую производную $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 8 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Этап 15.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 8 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Этап 15.2.2.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Этап 15.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 48 (0) - 16$

Этап 15.2.2.1.4

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 48 (0) - 16$

Этап 15.2.2.1.5

Умножим $48$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Этап 15.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 16$

Этап 15.2.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Этап 15.2.2.2.3

Вычтем $16$ из $0$ .

$f' (0) = - 16$

Этап 15.2.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(\frac{1}{2}, 2)$ в первую производную $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 8 \cdot 1 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Этап 15.3.2.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Этап 15.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 8 - 36 \cdot 1 + 48 (1) - 16$

Этап 15.3.2.1.4

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 (1) - 16$

Этап 15.3.2.1.5

Умножим $48$ на $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 - 16$

Этап 15.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Вычтем $36$ из $8$ .

$f' (1) = - 28 + 48 - 16$

Этап 15.3.2.2.2

Добавим $- 28$ и $48$ .

$f' (1) = 20 - 16$

Этап 15.3.2.2.3

Вычтем $16$ из $20$ .

$f' (1) = 4$

Этап 15.3.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 8 {(4)}^{3} - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 8 \cdot 64 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Этап 15.4.2.1.2

Умножим $8$ на $64$ .

$f' (4) = 512 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Этап 15.4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 512 - 36 \cdot 16 + 48 (4) - 16$

Этап 15.4.2.1.4

Умножим $- 36$ на $16$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 48 (4) - 16$

Этап 15.4.2.1.5

Умножим $48$ на $4$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 192 - 16$

Этап 15.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.1

Вычтем $576$ из $512$ .

$f' (4) = - 64 + 192 - 16$

Этап 15.4.2.2.2

Добавим $- 64$ и $192$ .

$f' (4) = 128 - 16$

Этап 15.4.2.2.3

Вычтем $16$ из $128$ .

$f' (4) = 112$

Этап 15.4.2.3

Окончательный ответ: $112$ .

$112$

Этап 15.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{1}{2}$ , $x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 15.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 15.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$ .

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 16