Математический анализ Примеры

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Этап 1

Запишем $y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ в виде функции.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{π}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{12} (x - 2)$ по $x$ равна $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Этап 2.2.4

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Этап 2.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Этап 2.2.8

Умножим $\frac{π}{12}$ на $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Этап 2.2.9

Объединим $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ и $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Этап 2.2.10

Объединим $5$ и $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Этап 2.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{π}{12}$ и $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $- 2$ влево от $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Этап 2.3.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Этап 2.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Этап 2.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Этап 2.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Этап 2.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Этап 2.3.2.5

Объединим $\frac{π}{12}$ и $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Этап 2.3.2.6

Добавим $0$ и $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{5 π}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ по $x$ равна $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{5 π}{12}$ и $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 3.3.3

Поскольку $\frac{π}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{12}$ по $x$ равна $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{π}{12}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Этап 3.3.6

Поскольку $- \frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Этап 3.3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $\frac{π}{12}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Этап 3.3.7.2

Умножим $\frac{π}{12}$ на $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Этап 3.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Этап 3.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Этап 3.8

Умножим $12$ на $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Этап 5

Приравняем числитель к нулю.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ на $5 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ на $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Этап 6.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Этап 6.1.2.2.2

Разделим $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ на $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Этап 6.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Этап 6.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Этап 6.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Этап 6.1.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Этап 6.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $\frac{π}{6}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Этап 6.4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Этап 6.4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 6.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Этап 6.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Этап 6.4.5.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Этап 6.4.6

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Этап 6.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Этап 6.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 6.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.5

Умножим обе части уравнения на $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 6.6.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Этап 6.6.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Этап 6.6.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 4 \cdot 2$

Этап 6.6.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$x = 8$

Этап 6.7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.8.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.8.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.8.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.8.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.8.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Добавим $\frac{π}{6}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Этап 6.8.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Этап 6.8.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Этап 6.8.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 6.8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Этап 6.8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Этап 6.8.2.5.2

Добавим $9 π$ и $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Этап 6.8.2.6

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Этап 6.8.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Этап 6.8.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 6.8.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.1.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.2.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.8.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Этап 6.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Этап 6.8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Этап 6.8.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 4 \cdot 5$

Этап 6.8.4.2.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$x = 20$

Этап 6.9

Решение уравнения $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Этап 7

Найдем вторую производную в $x = 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $8$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $4$ из $π (8)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Этап 8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Этап 8.2.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Этап 8.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Этап 8.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Этап 8.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Этап 8.2.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Этап 8.2.8

Умножим $5$ на $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Этап 9

$x = 8$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 8$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Вычтем $2$ из $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Этап 10.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Этап 10.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Этап 10.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Этап 10.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Этап 10.2.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$f (8) = 3$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 20$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель $20$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вынесем множитель $4$ из $π (20)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $\frac{5 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $π$ из $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Этап 12.2.6

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Этап 12.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Этап 12.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Этап 12.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Этап 12.2.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Этап 12.2.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Этап 12.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Этап 12.2.10

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Этап 12.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Этап 12.4

Умножим $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Этап 12.4.2

Умножим $\frac{5 π^{2}}{144}$ на $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Этап 13

$x = 20$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 20$ — локальный минимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Вычтем $2$ из $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Этап 14.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Этап 14.2.1.2.2

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Этап 14.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Этап 14.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 14.2.1.3

Объединим $\frac{π}{2}$ и $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Этап 14.2.1.4

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Этап 14.2.1.5

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 14.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.2.1.7

Умножим $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Этап 14.2.1.7.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Этап 14.2.2

Вычтем $5$ из $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 15

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ — локальный максимум

$(20, - 7)$ — локальный минимум

Этап 16