Математический анализ Примеры

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Этап 1

Запишем $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ в виде функции.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 13$ является константой относительно $x$ , производная $- 13 \cos (h x)$ по $x$ равна $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2.3

Поскольку $h$ является константой относительно $x$ , производная $h x$ по $x$ равна $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2.5

Умножим $h$ на $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.2.6

Умножим $- 1$ на $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 \sin (h x)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Этап 2.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $h$ является константой относительно $x$ , производная $h x$ по $x$ равна $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $h$ на $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $13 h$ является константой относительно $x$ , производная $13 h \sin (h x)$ по $x$ равна $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.3

Поскольку $h$ является константой относительно $x$ , производная $h x$ по $x$ равна $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.5

Умножим $h$ на $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.6

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.7

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12 h$ является константой относительно $x$ , производная $12 h \cos (h x)$ по $x$ равна $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Этап 3.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Этап 3.3.3

Поскольку $h$ является константой относительно $x$ , производная $h x$ по $x$ равна $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $h$ на $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Этап 3.3.6

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Этап 3.3.7

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Этап 3.3.8

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Этап 3.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Этап 5

Разделим каждый член уравнения на $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ в $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 8

Разделим $13 h$ на $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $\cos (h x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 9.2

Разделим $12 h$ на $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 10

Разделим дроби.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Этап 11

Переведем $\frac{1}{\cos (h x)}$ в $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Этап 12

Разделим $0$ на $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Этап 13

Умножим $0$ на $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Этап 14

Вычтем $12 h$ из обеих частей уравнения.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Этап 15

Разделим каждый член $13 h \tan (h x) = - 12 h$ на $13 h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разделим каждый член $13 h \tan (h x) = - 12 h$ на $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Этап 15.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Этап 15.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Этап 15.2.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Этап 15.2.2.2

Разделим $\tan (h x)$ на $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Этап 15.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Этап 15.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Этап 15.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Этап 16

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Этап 17

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Этап 18

Разделим каждый член $h x = - 0.74541947$ на $h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разделим каждый член $h x = - 0.74541947$ на $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Этап 18.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Этап 18.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Этап 18.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Этап 19

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Этап 20

Добавим $2 π$ к $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 21

Результирующий угол $2.39617317$ является положительным и отличается от $- 0.74541947 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$h x = 2.39617317$

Этап 22

Разделим каждый член $h x = 2.39617317$ на $h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Разделим каждый член $h x = 2.39617317$ на $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Этап 22.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Этап 22.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Этап 23

Найдем вторую производную в $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Этап 24

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1

Сократим общий множитель.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Этап 24.1.2

Перепишем это выражение.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Этап 24.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Сократим общий множитель.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Этап 24.2.2

Перепишем это выражение.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Этап 25

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 26