Математический анализ Примеры

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Этап 1

Запишем $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ в виде функции.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ и $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Этап 2.3.2

Умножим $700 - \frac{4 x}{3}$ на $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $700 - \frac{4 x}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Этап 2.3.4

Поскольку $700$ является константой относительно $x$ , производная $700$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Этап 2.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Этап 2.3.6

Поскольку $- \frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 x}{3}$ по $x$ равна $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.7.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Этап 2.3.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $\frac{4 x}{3}$ из $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Этап 2.3.9.3

Объединим $- 2$ и $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Этап 2.3.9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.4.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Этап 2.3.9.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Этап 2.4.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Этап 2.4.2.4

Умножим $8$ на $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Этап 2.4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- \frac{16 x}{3} + 1400$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- \frac{16}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{16 x}{3}$ по $x$ равна $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $1400$ является константой относительно $x$ , производная $1400$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $- \frac{16}{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Этап 5.1.2

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Этап 5.1.3.2

Умножим $700 - \frac{4 x}{3}$ на $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Этап 5.1.3.3

По правилу суммы производная $700 - \frac{4 x}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Этап 5.1.3.4

Поскольку $700$ является константой относительно $x$ , производная $700$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Этап 5.1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Этап 5.1.3.6

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.1.3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.7.1

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.7.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Этап 5.1.3.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Этап 5.1.3.9.2

Вычтем $\frac{4 x}{3}$ из $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Этап 5.1.3.9.3

Объединим $- 2$ и $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Этап 5.1.3.9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.9.4.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Этап 5.1.3.9.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Этап 5.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Умножим $2$ на $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Этап 5.1.4.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Этап 5.1.4.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Этап 5.1.4.2.4

Умножим $8$ на $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Этап 5.1.4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Этап 5.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1400$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Этап 6.3

Умножим обе части уравнения на $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{16}$ в числитель.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16 x}{3}$ в числитель.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.2

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{16}$ в числитель.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Этап 6.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Этап 6.4.2.1.1.3

Вынесем множитель $8$ из $- 1400$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Этап 6.4.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Этап 6.4.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Этап 6.4.2.1.2

Объединим $\frac{- 3}{2}$ и $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Этап 6.4.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{525}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{525}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{16}{3}$

Этап 10

$x = \frac{525}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{525}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{525}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Этап 11.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.1.3

Умножим $4$ на $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель $2100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2100$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.1.2.4

Разделим $1050$ на $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель $1050$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $1050$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Этап 11.2.2.2.2.4

Разделим $350$ на $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Этап 11.2.2.3

Умножим $- 1$ на $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Вычтем $350$ из $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Этап 11.2.3.2

Умножим $350$ на $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $183750$ .

$y = 183750$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ — локальный максимум

Этап 13