Математический анализ Примеры

$y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Этап 1

Запишем $y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ в виде функции.

$f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc (x)]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \csc (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x))$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cot (x) \csc (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Этап 3.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Этап 3.4

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Этап 3.5

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Этап 3.8

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Этап 3.9

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Этап 3.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Этап 3.12.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) \cot^{2} (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Этап 3.12.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 2 \cot^{2} (x) \csc (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Этап 6

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cot (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 6.2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 7

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ .

$\csc (x) = 0$

Этап 7.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.4

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.6

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Этап 10.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 10.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 10.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 11

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Этап 12.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Этап 12.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен в четвертом квадранте.

$2 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.7

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.8

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.8.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.9

$0 + 2 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Этап 14.1.10

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Этап 14.1.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Этап 14.1.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Этап 14.1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2$

Этап 14.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 15

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{3 π}{2})})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})})$

Этап 16.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1 \cdot 1})$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1})$

Этап 16.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Этап 16.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{2}, - 2)$ — локальный максимум

Этап 18