Математический анализ Примеры

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Запишем $y = x e^{\frac{1}{x}}$ в виде функции.

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6.3

Перепишем $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ в виде $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Этап 2.8

Умножим $e^{\frac{1}{x}}$ на $1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 2.9.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ и $g (x) = x$ .

$f'' (x) = - \frac{x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.4

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.10

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.11

Перенесем $- 1$ влево от $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.12

Перепишем $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ в виде $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.14

Умножим $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.2.15

Добавим $- \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Этап 3.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.2

Объединим $e^{\frac{1}{x}}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{- (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $- - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1 (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.2.2

Умножим $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.3.2

Умножим $e^{\frac{1}{x}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.4

Вычтем $e^{\frac{1}{x}}$ из $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 0}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.5

Добавим $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}{x^{2}}$

Этап 3.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.4.6

Объединим.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Этап 3.4.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Этап 3.4.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

Этап 3.4.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 3.4.8

Умножим $e^{\frac{1}{x}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.2.2

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.6.3

Перепишем $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ в виде $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Этап 5.1.8

Умножим $e^{\frac{1}{x}}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 5.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 5.1.9.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $e^{\frac{1}{x}}$ из $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $e^{\frac{1}{x}}$ из $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Этап 6.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1 = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $e^{\frac{1}{x}}$ из $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $e^{\frac{1}{x}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $e^{\frac{1}{x}}$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $e^{\frac{1}{x}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\frac{1}{x}}) = \ln (0)$

Этап 6.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.4.2.3

Нет решения для $e^{\frac{1}{x}} = 0$

Нет решения

Этап 6.5

Приравняем $- \frac{1}{x} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $- \frac{1}{x} + 1$ к $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Этап 6.5.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 6.5.2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 6.5.2.3

Каждый член в $- \frac{1}{x} = - 1$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x} = - 1$ на $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Этап 6.5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Этап 6.5.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Этап 6.5.2.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x$

Этап 6.5.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $- x = - 1$ .

$- x = - 1$

Этап 6.5.2.4.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$ верно.

$x = 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{e}{1^{3}}$

Этап 10.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{e}{1}$

Этап 10.4

Разделим $e$ на $1$ .

$e$

Этап 11

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{\frac{1}{1}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $e^{\frac{1}{1}}$ на $1$ .

$f (1) = e^{\frac{1}{1}}$

Этап 12.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = e$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $e$ .

$y = e$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$ .

$(1, e)$ — локальный минимум

Этап 14