Математический анализ Примеры

$y = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Этап 1

Запишем $y = 5 (1 - e^{- 2 x})$ в виде функции.

$f (x) = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 (1 - e^{- 2 x})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 - e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Этап 2.1.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- 2 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$5 (- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])$

Этап 2.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$- 5 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.2

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$10 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $10$ на $1$ .

$10 e^{- 2 x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = 10 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Этап 3.3.2

Умножим $- 2$ на $10$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} x$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 3.3.4

Умножим $- 20$ на $1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$10 e^{- 2 x} = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7