Математический анализ Примеры

$y = 4 x - 6 \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = 4 x - 6 \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - 6 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Этап 2.3.3

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Этап 2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 - \frac{6}{x}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{6}{x} + 4$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- \frac{6}{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{6}{x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.4

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}} + 0$

Этап 3.4.2.2

Добавим $\frac{6}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $4 x - 6 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 5.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Этап 5.1.3.3

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Этап 5.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 - \frac{6}{x}$

Этап 5.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{6}{x} + 4$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{6}{x} + 4$ .

$- \frac{6}{x} + 4$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{6}{x} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{6}{x} = - 4$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 6.4

Каждый член в $- \frac{6}{x} = - 4$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $- \frac{6}{x} = - 4$ на $x$ .

$- \frac{6}{x} x = - 4 x$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{x}$ в числитель.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 6 = - 4 x$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x = - 6$ .

$- 4 x = - 6$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 6$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 6$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 4}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$x = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Этап 6.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{6}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{6}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 10.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{2^{2}}}$

Этап 10.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{4}}$

Этап 10.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$6 (\frac{4}{9})$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{4}{9}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Этап 10.3.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{4}{3})$

Этап 10.4

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Этап 10.5

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 11

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 12.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 12.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 12.2.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 12.2.1.3

Упростим $- 6 \ln (\frac{3}{2})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln ({(\frac{3}{2})}^{6})$

Этап 12.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{3^{6}}{2^{6}})$

Этап 12.2.1.5

Возведем $3$ в степень $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{2^{6}})$

Этап 12.2.1.6

Возведем $2$ в степень $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Этап 12.2.2

Окончательный ответ: $6 - \ln (\frac{729}{64})$ .

$y = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$ .

$(\frac{3}{2}, 6 - \ln (\frac{729}{64}))$ — локальный минимум

Этап 14