Математический анализ Примеры

$y = - \cos (4 x - π)$

Этап 1

Запишем $y = - \cos (4 x - π)$ в виде функции.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (4 x - π)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 4 x - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Этап 2.3.2

Умножим $\sin (4 x - π)$ на $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $4 x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Этап 2.3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Этап 2.3.7

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Этап 2.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Этап 2.3.8.2

Перенесем $4$ влево от $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (4 x - π)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $4 x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 3.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 3.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 3.3.5

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Этап 3.3.6.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $4 \sin (4 x - π) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 \sin (4 x - π) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (4 x - π)$ на $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$4 x - π = 0$

Этап 8

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$4 x = π$

Этап 9

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x - π = π - 0$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$4 x - π = π$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$4 x = π + π$

Этап 11.2.2

Добавим $π$ и $π$ .

$4 x = 2 π$

Этап 11.3

Разделим каждый член $4 x = 2 π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим каждый член $4 x = 2 π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Этап 11.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Этап 11.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Этап 11.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 11.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 11.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 11.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 12

Решение уравнения $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Сократим общий множитель.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Этап 14.1.2

Перепишем это выражение.

$16 \cos (π - π)$

Этап 14.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$16 \cos (0)$

Этап 14.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$16 \cdot 1$

Этап 14.4

Умножим $16$ на $1$ .

$16$

Этап 15

$x = \frac{π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Этап 16.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Этап 16.2.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Этап 16.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Этап 16.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Этап 16.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Этап 18.1.2

Сократим общий множитель.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Этап 18.1.3

Перепишем это выражение.

$16 \cos (2 π - π)$

Этап 18.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Этап 18.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$16 (- \cos (0))$

Этап 18.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.5

Умножим $16 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$16 \cdot - 1$

Этап 18.5.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 16$

Этап 19

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Этап 20.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Этап 20.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Этап 20.2.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Этап 20.2.3

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Этап 20.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Этап 20.2.5

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 20.2.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 20.2.6

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 21

Это локальные экстремумы $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ — локальный минимум

$(\frac{π}{2}, 1)$ — локальный максимум

Этап 22