Математический анализ Примеры

$y = 84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$

Этап 1

Запишем $y = 84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$ в виде функции.

$f (p) = 84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $84 x^{2}$ является константой относительно $p$ , производная $84 p x^{2}$ по $p$ равна $84 x^{2} \frac{d}{d p} [p]$ .

$84 x^{2} \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$84 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $84$ на $1$ .

$84 x^{2} + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2 x^{3}$ является константой относительно $p$ , производная $- 2 p^{2} x^{3}$ по $p$ равна $- 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} (2 p)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$84 x^{2} - 4 x^{3} p$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $84 x^{2} - 4 x^{3} p$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [84 x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 4 x^{3} p]$ .

$f'' (p) = \frac{d}{d p} (84 x^{2}) + \frac{d}{d p} (- 4 x^{3} p)$

Этап 3.1.2

Поскольку $84 x^{2}$ является константой относительно $p$ , производная $84 x^{2}$ относительно $p$ равна $0$ .

$f'' (p) = 0 + \frac{d}{d p} (- 4 x^{3} p)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [- 4 x^{3} p]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 4 x^{3}$ является константой относительно $p$ , производная $- 4 x^{3} p$ по $p$ равна $- 4 x^{3} \frac{d}{d p} [p]$ .

$f'' (p) = 0 - 4 x^{3} \frac{d}{d p} p$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (p) = 0 - 4 x^{3} \cdot 1$

Этап 3.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (p) = 0 - 4 x^{3}$

Этап 3.3

Вычтем $4 x^{3}$ из $0$ .

$f'' (p) = - 4 x^{3}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$84 x^{2} - 4 x^{3} p = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $84 x^{2}$ является константой относительно $p$ , производная $84 p x^{2}$ по $p$ равна $84 x^{2} \frac{d}{d p} [p]$ .

$84 x^{2} \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$84 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $84$ на $1$ .

$84 x^{2} + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 2 x^{3}$ является константой относительно $p$ , производная $- 2 p^{2} x^{3}$ по $p$ равна $- 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} (2 p)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (p) = 84 x^{2} - 4 x^{3} p$

Этап 5.2

Первая производная $f (p)$ по $p$ равна $84 x^{2} - 4 x^{3} p$ .

$84 x^{2} - 4 x^{3} p$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $84 x^{2} - 4 x^{3} p = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$84 x^{2} - 4 x^{3} p = 0$

Этап 6.2

Вычтем $84 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{3} p = - 84 x^{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- 4 x^{3} p = - 84 x^{2}$ на $- 4 x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- 4 x^{3} p = - 84 x^{2}$ на $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3} p}{- 4 x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{3} p}{- 4 x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} p}{x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} p}{x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Сократим общий множитель $- 84$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 84 x^{2}$ .

$p = \frac{- 4 (21 x^{2})}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{3}$ .

$p = \frac{- 4 (21 x^{2})}{- 4 (x^{3})}$

Этап 6.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$p = \frac{- 4 (21 x^{2})}{- 4 x^{3}}$

Этап 6.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$p = \frac{21 x^{2}}{x^{3}}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $21 x^{2}$ .

$p = \frac{x^{2} \cdot 21}{x^{3}}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$p = \frac{x^{2} \cdot 21}{x^{2} x}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$p = \frac{x^{2} \cdot 21}{x^{2} x}$

Этап 6.3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$p = \frac{21}{x}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$p = \frac{21}{x}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $p = \frac{21}{x}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 x^{3}$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11