Математический анализ Примеры

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 1

Запишем $y = \cot (12 π x - 3 x)$ в виде функции.

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $12 π x - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Этап 2.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $12 π x - 3 x$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $12 π x - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.2.2

Поскольку $12 π$ является константой относительно $x$ , производная $12 π x$ по $x$ равна $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.2.4

Умножим $12$ на $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Этап 2.2.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- (12 π - 3)$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ по $x$ равна $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.6

Возведем $\csc (12 π x - 3 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.7

Возведем $\csc (12 π x - 3 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $12 π x - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Этап 3.11

Поскольку $12 π$ является константой относительно $x$ , производная $12 π x$ по $x$ равна $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Этап 3.13

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Этап 3.14

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

Этап 3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Этап 3.16

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Этап 3.17

Возведем $12 π - 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 3.18

Возведем $12 π - 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 3.21

Изменим порядок множителей в $2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ на $- 12 π + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ на $- 12 π + 3$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $12 π - 3$ и $- 12 π + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 π$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $4 π - 1$ и $- 4 π + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $4 π$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 4 π) - 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.2.4

Перепишем $- (- 4 π + 1)$ в виде $- 1 (- 4 π + 1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.2.6

Разделим $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ на $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.3

Умножим $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ на $1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $- 12 π + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 π$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

Этап 5.3.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

Этап 5.3.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

Этап 5.3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

Этап 5.3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

Этап 5.3.2

Разделим $0$ на $- 4 π + 1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

Этап 6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 7

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

Этап 7.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

Этап 8

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 9

Найдем вторую производную в $x =$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\csc (12 π - 3)$ .

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Этап 10.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $- 7.08616739$ в степень $2$ .

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $50.21376836$ .

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Этап 10.2.3

Перепишем ${(12 π - 3)}^{2}$ в виде $(12 π - 3) (12 π - 3)$ .

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.3

Развернем $(12 π - 3) (12 π - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Умножим $12 π (12 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1.1

Умножим $12$ на $12$ .

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.1.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.1.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.2

Умножим $- 3$ на $12$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.3

Умножим $12$ на $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.4.2

Вычтем $36 π$ из $- 36 π$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Этап 10.5

Умножим $100.42753672$ на $144 π^{2} - 72 π + 9$ .

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

Этап 10.6

Найдем значение $\cot (12 π - 3)$ .

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

Этап 10.7

Умножим $120917.6026078$ на $7.01525255$ .

$848267.52020773$

Этап 11

$x =$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x =$ — локальный минимум

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ — локальный минимум

Этап 13