Математический анализ Примеры

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Этап 1

Запишем $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ в виде функции.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 250$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ по $x$ равна $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 25}$ в виде ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Этап 2.2.4

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Этап 2.2.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Этап 2.2.7

Добавим $2 x$ и $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Этап 2.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Этап 2.2.9

Умножим $- 2$ на $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Этап 2.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $500$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ и $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $500$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ по $x$ равна $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.7

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.8

Умножим ${(x^{2} + 25)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.10

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.11

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.16

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.16.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.17

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.17.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.17.2

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.17.3

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.18

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.19.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.19.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.19.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.20

Объединим $500$ и $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 3$ на $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $500$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Этап 3.4.2.3

Добавим $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $500$ из $- 1500 x^{2} + 12500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $500$ из $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $500$ из $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $500$ из $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $25$ в виде $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 25)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

По правилу суммы производная $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Этап 5.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 25}$ в виде ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Этап 5.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Этап 5.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Этап 5.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Этап 5.1.2.4

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Этап 5.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Этап 5.1.2.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Этап 5.1.2.7

Добавим $2 x$ и $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Этап 5.1.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Этап 5.1.2.9

Умножим $- 2$ на $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Этап 5.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Объединим $500$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Этап 5.1.3.2.2

Объединим $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ и $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Этап 6.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 5, - 1.47798871$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Вычтем $25$ из $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Добавим $25$ и $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Этап 10.2.3

Возведем $50$ в степень $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Этап 10.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $500$ на $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $25000$ и $125000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $25000$ из $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $25000$ из $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{5}$

Этап 11

$x = - 5$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 5$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Этап 12.2.1.1.2

Добавим $25$ и $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Этап 12.2.1.2

Разделим $250$ на $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Этап 12.2.2

Вычтем $5$ из $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 10$ .

$y = - 10$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 1.47798871$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $- 1.47798871$ в степень $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 14.1.2

Умножим $3$ на $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 14.1.3

Вычтем $25$ из $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $- 1.47798871$ в степень $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Этап 14.2.2

Добавим $2.18445063$ и $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Этап 14.2.3

Возведем $27.18445063$ в степень $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $500$ на $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Этап 14.3.2

Разделим $- 9223.32404202$ на $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Этап 14.3.3

Умножим $- 1$ на $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Этап 15

$x = - 1.47798871$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1.47798871$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 1.47798871$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.1

Возведем $- 1.47798871$ в степень $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Этап 16.2.1.1.2

Добавим $2.18445063$ и $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Этап 16.2.1.2

Разделим $250$ на $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 1$ на $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Этап 16.2.2

Вычтем $9.19643377$ из $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ — локальный максимум

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ — локальный минимум

Этап 18