Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 8]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ в $8$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.5

Умножим $3$ на $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.6

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.6.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.7

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Этап 8.2.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Этап 8.2.2.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.9.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Этап 8.2.2.9.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

Этап 8.2.2.11

Умножим $3$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

Этап 8.2.2.12

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.12.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

Этап 8.2.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.12.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 8.2.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 8.2.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.2.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

Этап 8.2.2.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

Этап 8.2.2.14

Добавим $12$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

Этап 8.2.2.15

Умножим $5$ на $12$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

Этап 9.2

Добавим $8$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Этап 10.1.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Этап 10.1.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $15$ .

$A (x) = \frac{15}{2}$

Этап 11