Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 7$ , $[0, 9]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 9]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} x^{2} - 7 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} x^{2} d x + \int_{0}^{9} - 7 d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - 7 d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9} + - 7 x]_{0}^{9})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9}$ и $- 7 x]_{0}^{9}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} - 7 x]_{0}^{9})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$ в $9$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 9^{3} - 7 \cdot 9) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $9$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 729 - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{729}{3} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{3 \cdot 243}{3} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{243}{1} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (243 - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.4

Умножим $- 7$ на $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (243 - 63 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.5

Вычтем $63$ из $243$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (0 - 7 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.8

Умножим $- 7$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (0 + 0))$

Этап 8.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - 0)$

Этап 8.2.2.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 + 0)$

Этап 8.2.2.11

Добавим $180$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180)$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot 180$

Этап 9.2

Добавим $9$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot 180$

Этап 10

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $9$ из $180$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (9 (20))$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 20)$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 20$

Этап 11