Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 13$ , $[0, \sqrt{26}]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, \sqrt{26}]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\int_{0}^{\sqrt{26}} x^{2} - 13 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\int_{0}^{\sqrt{26}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{26}} - 13 d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}} + \int_{0}^{\sqrt{26}} - 13 d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}} + - 13 x]_{0}^{\sqrt{26}})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}}$ и $- 13 x]_{0}^{\sqrt{26}}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3} - 13 x]_{0}^{\sqrt{26}})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 13 x$ в $\sqrt{26}$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} ((\frac{1}{3} \cdot {\sqrt{26}}^{3} - 13 \sqrt{26}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{26}}^{3}$ в виде $\sqrt{26^{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{26^{3}} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.2

Возведем $26$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{17576} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{17576}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 13 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (0 - 13 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.6

Умножим $- 13$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (0 + 0))$

Этап 8.2.2.7

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - 0)$

Этап 8.2.2.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} + 0)$

Этап 8.2.2.9

Добавим $\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $17576$ в виде $26^{2} \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $676$ из $17576$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{676 (26)}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Этап 8.3.1.2

Перепишем $676$ в виде $26^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{26^{2} \cdot 26}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Этап 8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Этап 8.3.3

Чтобы записать $- 13 \sqrt{26}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} - 13 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.3.4

Объединим $- 13 \sqrt{26}$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 13 \sqrt{26} \cdot 3}{3})$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26} - 13 \sqrt{26} \cdot 3}{3})$

Этап 8.3.6

Умножим $3$ на $- 13$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26} - 39 \sqrt{26}}{3})$

Этап 8.3.7

Вычтем $39 \sqrt{26}$ из $26 \sqrt{26}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{- 13 \sqrt{26}}{3})$

Этап 8.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} + 0} \cdot (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

Этап 9.2

Добавим $\sqrt{26}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

Этап 10

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $\sqrt{26}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{13 \sqrt{26}}{3}$ в числитель.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{- 13 \sqrt{26}}{3}$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{26}$ из $- 13 \sqrt{26}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26} \cdot - 13}{3}$

Этап 10.1.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26} \cdot - 13}{3}$

Этап 10.1.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{- 13}{3}$

Этап 10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = - \frac{13}{3}$

Этап 11