Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[- 1, 1]$ , найдем область определения $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Этап 1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\sqrt[3]{x}$

Этап 1.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 6.2.5.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Этап 6.2.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Этап 6.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 6.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Этап 6.2.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Этап 6.2.10

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Этап 6.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 6.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 6.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Этап 6.2.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$A (x) = 0$

Этап 9