Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[1, 2]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 7.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 7.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 7.2.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

Этап 8

Вычтем $1$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2}$

Этап 11