Математический анализ Примеры

$f (x) = 16 - x^{2}$ , $[- 4, 4]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 4, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\int_{- 4}^{4} 16 - x^{2} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $16 x$ в $4$ и в $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $16$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.2

Умножим $- 16$ на $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3

Добавим $64$ и $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.5

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Этап 9.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Этап 9.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Этап 9.2.3.8

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Этап 9.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Этап 9.2.3.10

Добавим $64$ и $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - \frac{128}{3})$

Этап 9.2.3.11

Чтобы записать $128$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 9.2.3.12

Объединим $128$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 9.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Этап 9.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.14.1

Умножим $128$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{384 - 128}{3})$

Этап 9.2.3.14.2

Вычтем $128$ из $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{256}{3})$

Этап 10

Добавим $4$ и $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{256}{3}$

Этап 11

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $8$ из $256$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (32)}{3}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 32}{3}$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{32}{3}$

Этап 12