Математический анализ Примеры

$p (x) = \frac{- 1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{- 3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{3} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.6

Объединим $\frac{- 4}{3}$ и $x$ .

$- x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ и $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$p'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$p'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 x}{3}$ по $x$ равна $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 2 x - \frac{4}{3}$ и $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6