Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 = x$ .

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 = x$

Этап 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 - x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из $50 x$ .

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 49 x + 70 y - 200 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = - 3$ , $b = - x + 70$ и $c = - 2 x^{2} + 49 x - 200$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- x + 70) \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.4

Перепишем ${(- x + 70)}^{2}$ в виде $(- x + 70) (- x + 70)$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.5

Развернем $(- x + 70) (- x + 70)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.5

Умножим $70$ на $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.1.7

Умножим $70$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $70 x$ из $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.7

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.9.2

Умножим $49$ на $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.9.3

Умножим $12$ на $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.10

Вычтем $24 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.11

Добавим $- 140 x$ и $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.1.12

Вычтем $2400$ из $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.4

Перепишем ${(- x + 70)}^{2}$ в виде $(- x + 70) (- x + 70)$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.5

Развернем $(- x + 70) (- x + 70)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.5

Умножим $70$ на $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.1.7

Умножим $70$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.6.2

Вычтем $70 x$ из $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.7

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.9.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.9.2

Умножим $49$ на $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.9.3

Умножим $12$ на $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.10

Вычтем $24 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.11

Добавим $- 140 x$ и $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.1.12

Вычтем $2400$ из $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - \frac{x - 70 + \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.4

Перепишем ${(- x + 70)}^{2}$ в виде $(- x + 70) (- x + 70)$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.5

Развернем $(- x + 70) (- x + 70)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.5

Умножим $70$ на $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.1.7

Умножим $70$ на $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.6.2

Вычтем $70 x$ из $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.7

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.9.2

Умножим $49$ на $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.9.3

Умножим $12$ на $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.10

Вычтем $24 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.11

Добавим $- 140 x$ и $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.1.12

Вычтем $2400$ из $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - \frac{x - 70 - \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{x - 70 + \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

$y = - \frac{x - 70 - \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Этап 9

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 23 x^{2} + 448 x + 2500 \geq 0$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 23 x^{2} + 448 x + 2500 = 0$

Этап 10.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.3

Подставим значения $a = - 23$ , $b = 448$ и $c = 2500$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 448 \pm \sqrt{448^{2} - 4 \cdot (- 23 \cdot 2500)}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Возведем $448$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.1.2.2

Умножим $92$ на $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.1.3

Добавим $200704$ и $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.1.4

Перепишем $430704$ в виде $12^{2} \cdot 2991$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $430704$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Этап 10.4.3

Упростим $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Возведем $448$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.1.2.2

Умножим $92$ на $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.1.3

Добавим $200704$ и $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.1.4

Перепишем $430704$ в виде $12^{2} \cdot 2991$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $430704$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Этап 10.5.3

Упростим $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

Возведем $448$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.1.2.2

Умножим $92$ на $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.1.3

Добавим $200704$ и $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.1.4

Перепишем $430704$ в виде $12^{2} \cdot 2991$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $430704$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Этап 10.6.2

Умножим $2$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Этап 10.6.3

Упростим $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.7

Объединим решения.

$x = \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 10.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 7$

Этап 10.9.1.2

Заменим $x$ на $- 7$ в исходном неравенстве.

$- 23 {(- 7)}^{2} + 448 (- 7) + 2500 \geq 0$

Этап 10.9.1.3

Левая часть $- 1763$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 23 {(0)}^{2} + 448 (0) + 2500 \geq 0$

Этап 10.9.2.3

Левая часть $2500$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 27$

Этап 10.9.3.2

Заменим $x$ на $27$ в исходном неравенстве.

$- 23 {(27)}^{2} + 448 (27) + 2500 \geq 0$

Этап 10.9.3.3

Левая часть $- 2171$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ Ложь

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Истина

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Ложь

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ Ложь

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Истина

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Ложь

Этап 10.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Этап 11

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}]$

Обозначение построения множества:

${x | \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}}$

Этап 12

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23}, \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}]$

Обозначение построения множества:

${y | \frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23} \leq y \leq \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}}$

Этап 13

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}], {x | \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}}$

Диапазон: $[\frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23}, \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}], {y | \frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23} \leq y \leq \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}}$

Этап 14