Математический анализ Примеры

$B' (t) = (\frac{15}{2}) \sqrt{t} + 6 e^{- t}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $B (t)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $B' (t)$ .

$B (t) = \int B' (t) d t$

Этап 2

Объединим $\frac{15}{2}$ и $\sqrt{t}$ .

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} + 6 e^{- t} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} d t + \int 6 e^{- t} d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{15}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{15}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{15}{2} \int \sqrt{t} d t + \int 6 e^{- t} d t$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int 6 e^{- t} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int 6 e^{- t} d t$

Этап 7

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 6 \int e^{- t} d t$

Этап 8

Пусть $u = - t$ . Тогда $d u = - d t$ , следовательно $- d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 6 \int - e^{u} d u$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 6 (- \int e^{u} d u)$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 6 \int e^{u} d u$

Этап 11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 6 (e^{u} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $\frac{15}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.2

Умножим $15$ на $2$ .

$\frac{30}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{30}{6} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.4

Сократим общий множитель $30$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $30$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6 (1)} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{1} t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 12.2.4.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $- t$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- t} + C$

Этап 14

Функция $B$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$B (t) = 5 t^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- t} + C$