Математический анализ Примеры

$N (t) = 25000 - \frac{3000}{\sqrt{1 + 0.2 t^{2}}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + 0.2 t^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + 0.2 t^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$0.2 t^{2} \geq - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $0.2 t^{2} \geq - 1$ на $0.2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $0.2 t^{2} \geq - 1$ на $0.2$ .

$\frac{0.2 t^{2}}{0.2} \geq \frac{- 1}{0.2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $0.2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.2 t^{2}}{0.2} \geq \frac{- 1}{0.2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} \geq \frac{- 1}{0.2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $0.2$ .

$t^{2} \geq - 5$

Этап 2.3

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{3000}{\sqrt{1 + 0.2 t^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{1 + 0.2 t^{2}} = 0$

Этап 4

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + 0.2 t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + 0.2 t^{2}}$ в виде ${(1 + 0.2 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + 0.2 t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(1 + 0.2 t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 0.2 t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + 0.2 t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + 0.2 t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + 0.2 t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$1 + 0.2 t^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 + 0.2 t^{2} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$0.2 t^{2} = - 1$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $0.2 t^{2} = - 1$ на $0.2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $0.2 t^{2} = - 1$ на $0.2$ .

$\frac{0.2 t^{2}}{0.2} = \frac{- 1}{0.2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $0.2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.2 t^{2}}{0.2} = \frac{- 1}{0.2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} = \frac{- 1}{0.2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $0.2$ .

$t^{2} = - 5$

Этап 4.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 4.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 4.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Этап 4.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = i \sqrt{5}$

Этап 4.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - i \sqrt{5}$

Этап 4.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 5

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${t | t \in ℝ}$

Этап 6

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[22000, 25000)$

Обозначение построения множества:

${y | 22000 \leq y < 25000}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {t | t \in ℝ}$

Диапазон: $[22000, 25000), {y | 22000 \leq y < 25000}$

Этап 8