Математический анализ Примеры

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2} - 3 y + 3$

Этап 3

Каждый член в $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ умножим на $y^{2} - 3 y + 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ на $y^{2} - 3 y + 3$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} - 3 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y - 1 = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = x y^{2} + x (- 3 y) + x \cdot 3$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + x \cdot 3$

Этап 3.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 \cdot x$

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x = y - 1$

Этап 4.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y = - 1$

Этап 4.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y + 1 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = x$ , $b = - 3 x - 1$ и $c = 3 x + 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 3 x - 1) \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (3 x + 1))}}{2 x}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.4

Перепишем ${(- 3 x - 1)}^{2}$ в виде $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.5

Развернем $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.6.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Этап 4.6.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Этап 4.6.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.10.1.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.6.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.6.10.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.6.11

Вычтем $12 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.6.12

Вычтем $4 x$ из $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Этап 4.6.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.13.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Этап 4.6.13.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Этап 4.6.13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Этап 4.6.13.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.13.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Этап 4.6.13.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Этап 4.6.13.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Этап 4.7

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Этап 4.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.4

Перепишем ${(- 3 x - 1)}^{2}$ в виде $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.5

Развернем $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.6.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.8.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.8.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.8.1.10.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.8.1.11

Вычтем $12 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Этап 4.8.1.12

Вычтем $4 x$ из $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.13.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.13.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.13.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.13.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Этап 4.8.1.13.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.1.13.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Этап 4.8.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Этап 4.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6.2

Приравняем $- 3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $- 3 x - 1$ к $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

Этап 6.2.2

Решим $- 3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x = 1$

Этап 6.2.2.2

Разделим каждый член $- 3 x = 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Этап 6.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Этап 6.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 3}$

Этап 6.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 6.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(- 3 \cdot - 3 - 1) ((- 3) - 1) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 32$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(- 3 \cdot 0 - 1) ((0) - 1) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(- 3 \cdot 4 - 1) ((4) - 1) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 39$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{3}$ Ложь

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - \frac{1}{3}$ Ложь

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq 1$

Этап 7

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 12