Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x^{2} + 2 x^{4} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$2 u^{2} - u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$

Этап 2.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.10.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Этап 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$

Этап 2.12.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.12.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.12.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 2.13

Решением $2 x^{4} - x^{2} + 2 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 2.49057894, 2.49057894]$

Обозначение построения множества:

${y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $[- 2.49057894, 2.49057894], {y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Этап 6